65_15

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 65, 2011VỀ MÔĐUN TỰA NỘI XẠ Công Quỳnh, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Thị Minh Thủy, Trường Đại học Sư phạm, Đại học HuếTÓM môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu với mỗi m ∈ N il (M ) và cấu f : mR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f (x).với mọi x ∈ mR. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của môđun tựa nội xạ linh và chứng tỏ một số kết quả được biết có thể suy ra đặc trưng này1. Giới bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Với vành R đã cho, viết MR.(R M ) để chỉ M là một R-môđun phải (, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể viết, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản chúng ta M thay vì MR . Chúng ta dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ môđun con (., thực sự) của M . Nếu A là môđun con cực đại (hạng tử ) của môđun M , chúng ta viết A ≤max M (., A ≤⊕ M ). Căn Jacobson,.đế của môđun M được ký hiệu tương ứng là Rad(M ) và Soc(M ); đặc biệt, J(R).được dùng để ký hiệu cho căn Jacobson của vành R. Chúng ta viết Mn (R) để các ma trận vuông cấp n với hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập hợp (I) = α và M là một môđun, tổng trực tiếp α bản sao của M được ký M (I) hoặc M (α) , tích trực tiếp α bản sao của M bởi M I hoặc M α . Chúng hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm trù các R-môđun phải (., trái)Cho M và N là các R-môđun phải. Đồng cấu từ M đến N được hiểu là từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ =.6 X ⊂ M . Linh hóa tử phải của R được ký hiệu là rR (X) và được xác định như (X) = {r ∈ R | xr = 0 (∀x ∈ X)}Khi không sợ nhầm lẫn chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR (X). = {x1 , x2 , . . . , xn } ta viết r(x1 , x2 , . . . , xn ) thay vì r({x1 , x2 , . . . , xn }). Ta (X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con của M (X) là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R được là lR (X) và được định nghĩa tương chúng ta được biết, một R-môđun phải Q được gọi là nội xạ nếu mỗi gồm các đồng cấu của các R-môđun phải với hàng là Ip p f¯. tồn tại một đồng cấu f¯ : B → Q để biểu đồ trên giao hoán, nghĩa là f¯i = fNăm 1940, Baer đã đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra tính nội môđun như sau: R-môđun phải Q là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi biểu đồ đồng cấu của các R-môđun phải với hàng là Ip p f¯. đó I là iđêan phải của R, đều tồn tại một đồng cấu f¯ : RR → Q để trên giao hoán, nghĩa là f¯i = fTừ khi có tiêu chuẩn Baer cho tính nội xạ, hai hướng phát triễn của mở xạ cùng tồn tại. Đầu tiên là mở rộng nội xạ theo định nghĩa gốc. Từ này, Ming đã lấy các R-môđun phải A là các R-môđun phải xyclic đồ giao hoán trên, ta có định nghĩa C-nội xạ. Tiếp tục theo hướng đó, biểu đồ giao hoán trên lấy các R-môđun phải A là đế của B, ta được soc-nội xạ mạnh (theo [2]). Bài báo này tiếp tục xét các môđun A đồ trên chỉ là các môđun mR với m ∈ N il(M ), nhờ vào định nghĩa dùng các môđun con. Theo [4], một môđun M được gọi là tựa nội xạ chính nếu m ∈ M và mỗi đồng cấu f : mR → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ mR. Một số kết quả và mối liên hệ giữa nội xạ chính và vành tự đồng cấu của nó đã được nghiên cứuTheo [4], một môđun M được gọi là tựa nội xạ đơn nếu với mỗi môđun N của M và mỗi đồng cấu f : N → M , tồn tại một đồng cấu f¯ : M → cho f¯(x) = f (x) với mọi x ∈ N . Rõ ràng ta nội xạ chính ⇒ tựa nội xạ đơnBên cạnh đó, hướng thứ hai cũng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứuTrong [5], Nicholson-Yousif đã đưa ra khái niệm một môđun M được gọi là

Không thể tạo bản xem trước, hãy bấm tải xuống
TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.