Tham khảo tài liệu '20 cách chứng minh bất đẳng thức nesbit', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 20 cách chứng minh bất đẳng thức NesBit Loạt bài này sẽ giới thiệu 20 cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit nổi tiếng. Trước hết ta phát biểu lại bất đẳng thức này Với mọi a b c lớn hơn 0 ta luôn có d b c 3 b-ịi-c c a a ò 2 Xin nói ngoài lề một chút trong bài này ta sử dụng một cách viết công thức trong Blogspot mới cho một kết quả tốt hơn chưa xuất hiện ở đâu trên thế giới. Nó sẽ ra mắt bạn đọc trong một ngày không xa. Ta trở lại với bài toán. Cách 1 Cộng thêm 1 1 1 vào hai vế của bất đẳng thức ta được Đây là bất đẳng thức quen thuộc nhân hai vế với 2 rồi sử dụng BĐT Cauchy 2 lần và nhân lại . Cách 2 Đặt Ta có a b c b c c a b b b - c c c a a íỉ b c b c a c íi b a b Q S 3 a b b c b c c ữ c a ữ b a c b c b a c a c 6 a b Từ đó Cách 3 Không mất tính tổng quát ta giả sử . Xét hàm số l .r trên khoảng I 0 1 ta có w ow e 1 Do đó là hàm lồi trên áp dụng bất đẳng thức Jensen thì f a 4- y c 3 a e 3 ị I 5 5 2 Cách 4 Đặt ĩ ữ b. c 4- b 4- c a c ữ b Ta sẽ chứng minh íỉ. b c f ữ -ị- b íỉ 4- ỉ 2 2 Thật vậy Do đó Tiếp theo ta chỉ ra a 4- ỉ. a -I- b . . 3 -c z- 2 2 2 Ta đặt a 4- b t Bài toán tương đương với Nói cách khác Ũ Điều này là rõ ràng. Cách 5 Có thể giả sử c iniii íỉ. b. c Lúc đó luôn không âm vì a b c dương và . Cách 6 Dùng phương pháp SOS. Vì a b c là các số dương nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Cách 7 Không mất tính tổng quát ta giả sử - - - . Khi đó b c c tỉ a -r b hay 1 1 . 1 ò c c -T a a b Theo BDT hoán vị thì a b c b c a b c c a a ủ b c c íỉ a và r r b c c a r a b b c c a a b Cộng vế theo vế ta có kết quả mong muốn Cách 8 Theo Cauchy-Schwarz ta có E 7-7- E La b c ab bc íỉ -Ị- b -I- c 2 3 ab bc ca Ta còn có a b c 3 3 a -Ị- bc ca Kết hợp lại là xong . Cách 9 BDT ban đầu tương đương với 3atlc3 hay 2-Ef ß3 Theo AM-GM a- b a3 a3 b3
