Tham khảo tài liệu 'phương pháp chứng minh bất đẳng thức schur', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Cao Văn Dũng SV Lớp K50A1s-Sp Toán - Khoa Sư Phạm - ĐHQGHN Nhiều Cách Để Chứng Minh Cho Bất Đẳng Thức Schur Bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức chặt và đẹp mắt có nhiều ứng dụng để giải toán nhưng khi áp dụng nó thì phải chứng minh nó xong rồi mới được áp dụng. Bài viết này xin nêu ra một số cách để chứng minh mong bạn đọc có them nhiều cách hay khác nữa đóng góp để cho bài viết trở nên phong phú hơn. Ta có bài toán bất đẳng thức Schur Với các số thực không âm a b c ta luôn có bất đẳng thức sau a a - b a - c b b - c b - a c c - a c - b 0. CM Cách 1 Đặt ẩn phụ Do vai trò của a b c là như nhau nên ta có thể giả sử a b c. Đặt x a - b 0 y b - c 0 nên bất đẳng thức được viết lại thành c x y y - c y xy c x y x x y 0. c x2 xy y2 x2 x 2y 0 luôn đúng do x y c là các số không âm. Dấu xảy ra khi a b c hoặc a b c 0 hoặc các hoán vị của nó. Cách 2 Do vai trò của a b c là như nhau nên ta có thể giả sử a b c. TH 2 trong 3 số a b c bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. TH a b c ta chia vế trái bất đẳng thức cho a - b b - c a - c 0 nên bất đẳng thức tương đương ------ I 0 bất đẳng thức trên luôn đúng do b - c a - c a - b a b 0 a b . 0 b - c a - c b - c a - c Cách 3 Khảo sát hàm Do vai trò của a b c là như nhau nên ta có thể giả sử a b c. Bất đẳng thức trên được viết lại a3 b3 c3 3abc - ab a b - bc b c - ca c a 0. Ta xét hàm số sau f a a3 b3 c3 3abc - ab a b - bc b c - ca c a 1 Ta có f x 3a 3bc 2ab b 2ac c a b 2a 2ab 2bc 2ac bc c a b a b 2a a b 2c a b c b c a b a b 2a 2c c b c 0 Nên f x đồng biến Nên f a f b c3 3a2c 2ac a c c a c 2 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Cách 4 Đánh giá Do vai trò a b c là như nhau nên ta giả sử a b c. Khi đó ta có c c a c b 0 . Ta xét a a c b b c a2 ac b2 bc a b a b c 0 . a a b a c b b c a b 0 a a b a c b b c b a 0 . Vậy cộng 2 bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh . Cách 5 Dồn biến Do vai trò a b c là như nhau nên ta giả sử a b c. Ta xét hàm số f a b c a3 b3 c3 3abc ab a b bc b c ca c a Ta có b c b c ì a è 2 2 0 5 b c a ịb
