Dưới đây là Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa nhằm giúp các em học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập Toán một cách thuận lợi cũng như tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. Chúc các em thành công. | PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 THANH HÓA MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) x x 2x x 2 Cho P = x x 3 x 2 + x x 2x x 2 x x 3 x 2 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất Bài 2: (4,0 điểm) 1. Giải phương trình 5 3x x 1 x 3 3 2x =4 2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 3: (4,0 điểm) 1. Cho a = x + b=y+ c = xy + 1 x 1 y 1 xy Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc 2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 - 1 1 ) 0; x 1; 4 1 1 P= ( x 2)( x 1) 2 x 1 = = ( x 2)( x 1)( x 1) + x 1 0,5 + ( x 2)( x 1)( x 1) 0,5 ( x 2)( x 1) 2 x 1 x 1 2( x 1) x 1 P > 1 Điểm 0,5 2( x 1) 2( x 1) 2x 2 x 1 > 1 - 1 > 0 >0 x 1 x 1 x 1 x 3 > 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0 x 1 0,5 x–1>0 x>1 Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4 Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1 2 P= 2( x 1) 4 =2+ Với x > 0; x 1; 4 x 1 x 1 0,5 0,5 P nguyên x – 1 là ước của 4 0,5 P đạt giá trị nguyên lớn nhất x – 1 = 1 x = 2 0,5 Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 2 Điều kiện x – 3 + 3 2 x 0 0,25 Phương trình tương đương 3x 5 - x 1 - 4 2 x 3 - 4x + 12 = 0 (*) 1 0,5 3 2 Xét x 1 nên x Đặt x + 1 > 0) x 1,0 1 1 = t thì x2 + 2 = t2 – 2 x x 0,5 Ta có (1) 2t2 – 3t – 2 > 0 (t – 2)(2t + 1) > 0 (2) Vì x > 1 nên (x – 1)2 > 0 x2 + 1 > 2x x + (2) đúng. Suy ra điều phải chứng minh 1 > 2 hay t > 2 x 1 4 IP = HQ; IP//HQ (Tính chất đường trung bình) và AD = BC (GT) 0,5 IPHQ là 0,5 Có IP = IQ = 1 1 AD = BC nên IPHQ là hình thoi 2 2 Gọi P 1 ; Q 1 là giao điểm của PQ với AD và BC Nhận thấy ∆ HPQ cân đỉnh H HPQ = HQP (Góc ở đáy tam giác cân) (1) Mà PH // BC BQ 1 P = HPQ (So le trong) (2) 0,5 QH // AD AP 1 P = HQP (So le trong) (3) Từ (1); (2); (3) Suy ra AP 1 P = BQ 1 P ( đpcm) 0,5 2 Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm
