Đây là Đề thi chọn HSG lớp 9 THCS môn Toán năm 2014 - 2015 - Sở GD&ĐT Ninh Bình nhằm giúp các em học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập Toán một cách thuận lợi cũng như tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. | SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014-2015 Môn:TOÁN Ngày thi:04/03/2015 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (5 điểm) x 4 x x 8 ( x 2) 2 2 x : Cho biểu thức A = x 2 4 x x 2 Với x không âm,khác 4. a,Rút gọn A b,Chứng minh rằng A a2 – b2 = 2x +10 => x+5 = Thay vào phương trình ta được: a+b= a2 b2 2(a + b) – (a2 – b2) = 0 (a+b)(2 – a + b) = 0 2 vì a + b > 0 nên 2 – (a – b) = 0 hay a – b = 2 Giải ta tìm được x = -1; x = 1 7 a2 b2 2 x y z 6 b, xy yz zx 11 xyz 6 x y 6 z 6 xy yz zx 11 => z (6 z ) 11 z 6 xy (vì : z 0) z Giải ra ta có hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của (1;2;3) Câu 3 (2 điểm) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x 2 3xy 2 y 2 2 y 2 3 yz 2 z 2 2 z 2 3zx 2 x 2 A= 2( x y) 2 xy 2( y z ) 2 yz 2( z x) 2 zx ( x y) 2 7 = (x + y)2 4 4 7 => 2 x 2 3xy 2 y 2 ≥ (x + y) dấu “=” xảy ra khi x = y 2 7 Tương tự: (y + z) dấu “=” xảy ra khi y = z 2 y 2 3 yz 2 z 2 ≥ 2 7 2 z 2 3zx 2 x 2 ≥ (z + x) dấu “=” xảy ra khi z = x 2 Ta có: 2(x + y)2 – xy ≥ 2(x + y)2 - A = 2 x 2 3xy 2 y 2 2 y 2 3 yz 2 z 2 2 z 2 3zx 2 x 2 ≥ 7 (x + y + z) = 3 7 Vậy minA = 3 7 khi x = y = z = 1 Câu 4 (7 điểm) Cho đường tròn O, dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC; E,F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA′.Chứng minh rằng: a, Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau b, Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau c, Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC a) Chứng minh: HEF ~ ABC Tứ giác ABHE nội tiếp =>ABH = HEF hay ABC = HEF Tứ giác AHFC nội tiếp =>ACH = AFH hay ACB
