Mục đích của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của hàm vector C liên tục trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff và đưa ra một số điều kiện cần cho hàm vector C-lồi f, liên tục trên phần trong của miền xác định D của nó. | TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM VECTOR C – LỒI TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ TUYẾN TÍNH LỒI ĐỊA PHƯƠNG HAUSDORFF Trần Văn Sự 1 Tóm tắt: Mục đích của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của hàm vector Cliên tục trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff và đưa ra một số điều kiện cần cho hàm vector C-lồi f, liên tục trên phần trong của miền xác định D của nó. Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X là tập con khác rỗng trong X, C ⊆ Y là nón trong Y, C = { tc | c∈C, t ≥ 0}. Cho hàm vector f : D → Y. Chúng ta nhắc lại một số định nghĩa cần thiết sau: i. Hàm vector f được gọi là tại x0 ∈ D nếu với mọi W là lân cận của gốc trong Y, tồn tại U là lân cận của x0 trong D sao cho f (U ) ⊆ f ( x0 ) + W − C . ii. Hàm vector f được gọi là tại x0 ∈ D nếu với mọi W là lân cận của gốc trong Y, tồn tại U là lân cận của điểm x0 trong D sao cho f (U ) ⊆ f ( x0 ) + W+C. iii. Hàm vector f được gọi là ( ) nếu f là ( ) tại mọi điểm x0 ∈ D. iv. Hàm vector f được gọi là C-lồi nếu với mọi thì x, y ∈ D, t ∈ [0,1] f (tx + (1 − t ) y) ∈ tf ( x) + (1 − t ) f ( y) − C. Trên đồ thị của f được ký hiệu bởi epif và được định nghĩa như sau epif ={(x, y) ∈ D × Y : f ( x)∈ y − C}. Tập mức của f được kí hiệu bởi Levαf với α ∈ Y , được định nghĩa như sau Levα f ={x∈ D | f(x)∈ α - C}. 1 ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam TRẦN VĂN SỰ Các quan hệ trên nón : ∀ x, y ∈ X , x f y ⇔ x − y ∈C. Nếu thêm intC không rỗng thì ∀ x, y ∈ X , x ff y ⇔ x − y ∈ int C. Cho B ⊆ Y. Ta nói rằng B là cơ sở của nón C nếu các điều kiện sau cùng thoả mãn: i) C = cone( B) := {tb: b ∈ B, t ≥ 0} , ii) B không chứa điểm gốc O, iii) Với mỗi c ∈ C , c ≠ 0, đều tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0, sao cho c = tb. Tập B như trên còn được gọi là cơ sở của nón C. Các kết quả được sử dụng để chứng minh các kết quả trong bài báo này được giới thiệu bởi Đinh Thế Lục [1]. Bổ đề 1. [1] Cho B Khi đó ⊆ Y là tập con của Y, C ⊆ Y là nón .
