Bài báo này trình bày một số tính chất của các nhóm nhân cyclic trên vành Mersenne. Các nhóm nhân cyclic này là cơ sở cho việc xây dựng các mã cyclic cục bộ. Có thể thấy rằng tất cả các nhóm nhân cyclic trên vành Mersenne đều tương đương với tất cả các mã cyclic trên vành này và các vành ước của nó. | Các mã cyclic trấn vành Mersenne Kỹ thuật điện tử & Khoa học máy tính C¸c m· CYCLIC TRÊN Vµnh MERSENNE NGUYỄN VĂN TRUNG Tóm tắt: Bài báo này trình bày một số tính chất của các nhóm nhân cyclic trên vành Mersenne. Các nhóm nhân cyclic này là cơ sở cho việc xây dựng các mã cyclic cục bộ. Có thể thấy rằng tất cả các nhóm nhân cyclic trên vành Mersenne đều tương đương với tất cả các mã cyclic trên vành này và các vành ước của nó. Từ khóa: Cyclic, Nhóm nhân Cyclic, Cyclic cục bộ. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Lý thuyết mã hóa đã được phát triển từ lâu và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống, đặc biệt là lĩnh vực thông tin. Lý thuyết mã hóa phát triển theo ba hướng cơ bản là mã nguồn, mã kênh và mật mã [1,2]. Đa số các mã khống chế sai thường xây dựng theo hướng kiến thiết cho định lý thứ hai của Shannon với hướng chủ đạo là xây dựng các mã trên các cấu trúc đại số theo quan điểm mã là một tập con có cấu trúc trong một cấu trúc đại số nào đó [3]. Thành tựu nổi bật trong hướng này là mã cyclic. Mã cyclic là mã khối tuyến tính được xây dựng trên các Ideal của vành đa thức, mỗi từ mã là một phần tử của Ideal trên vành đa thức đó. Với mã cyclic cục bộ, mỗi dấu mã là một phần tử của một bộ phận có cấu trúc trong vành. Có thể coi mã cyclic truyền thống là một lớp con của mã cyclic cục bộ hay mã cyclic truyền thống là một dạng đặc biệt của mã cyclic cục bộ[9]. Bài báo này trình bày về một số tính chất của mã cyclic cục bộ xây dựng trên vành Mersenne, dựa trên những kiến thức nền tảng về cấu trúc đại số và các kết quả nghiên cứu trước đó về mã cyclic cục bộ. 2. CẤP CỦA NHÓM NHÂN CYCLIC TRÊN VÀNH MERSENNE Định nghĩa 1: Vành đa thức Mersenne x n 1 là vành đa thức có giá trị n thỏa mãn: n 2m 1 . Định nghĩa 2: Cho Sn n 0,1,n 1 , n lẻ Lớp kề cyclic Ci theo modulo trên GF 2 là tập hợp sau: Ci j mod n, j 0,1, Ci , , j j mi 1 mi Trong đó: i mod n Ta có C
