Bài toán về chỉ số chính quy của tập điểm béo giúp chúng ta đánh giá được chiều của iđêan các đa thức thuần nhất triệt tiêu trên tập các điểm phân biệt với các số bội tương ứng, là vấn đề mà hiện nay vẫn là bài toán mở. Bài toán này còn có liên quan đến giả thuyết của Nagata về chặn dưới cho bậc các hàm nội suy mà hiện nay vẫn chưa được giải quyết. | Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019 Công trình được hoàn thành tại: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Huế. Người hướng dẫn khoa học: . Phan Văn Thiện. Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: 1 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Cho X = {P1 , ., Ps } là tập các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh Pn := Pnk , với k là một trường đóng đại số. Gọi ℘1 , ., ℘s là các iđêan nguyên tố thuần nhất của vành đa thức R := k[x0 , ., xn ] tương ứng với các điểm P1 , ., Ps . Cho m1 , ., ms là các số nguyên dương. Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps là lược đồ chiều không xác định bởi iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘m s và gọi s Z := m1 P1 + · · · + ms Ps là một tập điểm béo trong Pn . Chú ý rằng iđêan I của tập điểm béo là tập gồm các hàm đại số nội suy trên tập điểm P1 , ., Ps triệt tiêu với số bội m1 , ., ms . Đề tài về tập điểm béo được nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau. Ví dụ như giả thuyết của Nagata về chặn dưới cho bậc của các hàm nội suy đến nay vẫn chưa được giải quyết (xem [13]). Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành R/I. Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định bởi iđêan I, vành tọa độ thuần nhất của Z là A := R/I. Vành A = ⊕t≥0 At là một vành phân bậc s mi +n−1 P Cohen-Macaulay 1-chiều có bội của nó là e(A) := n . i=1 Hàm Hilbert của Z được xác định bởi HA (t) := dimk At , tăng chặt cho đến khi đạt được số bội e(A), tại đó nó dừng. Chỉ số chính quy của Z được định nghĩa là số nguyên bé nhất t sao cho HA (t) = e(A) và nó được ký hiệu là reg(Z). Chỉ số chính quy reg(Z) bằng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(A) .
