Luận án cũng đặt vấn đề áp dụng phương pháp liên tục tương tự như đối với bài toán Dirichlet ()-() để nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet ()- (). Do sự có mặt của ma trận phản đối xứng B(x, z, p) trong phương trình (), việc tiến hành các đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm elliptic u(x) ∈ C 4 (Ω) của bài toán ()-() trong bốn bước nói trên sẽ gặp nhiều khó khăn;. | Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu monge Ampère Elliptic không đối xứng VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC THÁI THỊ KIM CHUNG BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH KIỂU MONGE-AMPÈRE ELLIPTIC KHÔNG ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: Phương trình Vi phân và Tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 Luận án được hoàn thành tại: Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: . Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án cấp Viện, họp tại Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc gia Hà Nội - Thư viện Viện Toán học Mở đầu Phương trình Monge-Ampère là một trong các phương trình vi phân đạo hàm riêng cổ điển phi tuyến hoàn toàn, xuất hiện từ cuối thế kỷ XIX trong các công trình của G. Monge, . Ampère và có dạng sau đây 2 uxx uyy − u2xy = K(x, y) 1 + u2x + u2y , (x, y) ∈ Ω, () trong đó Ω ⊂ R2 là miền bị chặn, u(x, y) là ẩn hàm của hai biến độc lập x, y cần tìm sao cho đồ thị của hàm z = u(x, y) tại điểm (x, y, u(x, y)) có độ cong Gauss K(x, y) cho trước. Phương trình () được khái quát lên trường hợp n chiều thành phương trình độ cong Gauss sau đây n+2 det D2 u = K(x) 1 + |Du|2 2 , x ∈ Ω, () trong đó Ω ⊂ Rn là miền bị chặn, u = u(x) = u(x1 , . . . , xn ) là ẩn hàm, Du = (ux1 , . . . , uxn ) là véc tơ gradient của u, D2 u = [uxi xj ]n×n là ma trận Hessian của u và K(x) là hàm số cho trước. Phương trình này là elliptic khi ma trận Hessian D2 u là xác định dương hay u là hàm lồi chặt trong Ω và do đó K(x) > 0. Nó được nhiều nhà Toán học nghiên cứu như . Alexandrov, . Bakelman, H. Lewy, S. Bernstein,. Sau này, trong một số lĩnh vực
