Bài giảng với các nội dung: định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê; phân bố chính tắc Gibbs; phân bố chính tắc lớn Gibbs; các hàm nhiệt động và các đại lượng nhiệt động trong phân bố chính tắc; phân bố Maxwell – Boltzmann; phân bố chính tắc lớn lượng tử; phân bố Boltzmann lượng tử. | Bài giảng vật lý thống kê: Thống kê cổ điển, thống kê lượng tử Đại Học An Giang Khoa sư phạm PHẦN I. THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 1. Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê Định lí : Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của hệ. Chứng minh : Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình liên tục có dạng : divj 0 (1) t trong đó là hàm phân bố thống kê và j v với v (q 1 ,., q s , p 1 ,., p s ) là vận tốc của điểm pha trong không gian pha 2s chiều. Do đó ta có : s s s q i p i divj ( q i ) ( p i ) q i p i (2) i 1 qi pi i 1 qi pi i 1 qi pi Mặt khác, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo pha của hệ thì các qi và pi thỏa mãn phương H H trình chính tắc Hamilton : q i , p i với H H ( q, p ) là hàm Hamilton của hệ. pi qi s s H H Suy ra : q i p i (3) i 1 qi pi i 1 qi pi pi qi 2 2 q i s p i s H H 0 (4) i 1 qi pi i 1 qi pi pi qi Thay (3) và (4) vào (2), rồi thay vào (1) ta được : ,H 0 (5) t s H H trong đó ,H gọi là ngoặc Poisson giữa và H i 1 qi pi pi qi d Mặt khác, ta lại có : nếu (q, p, t ) thì ,H (6) dt t d Từ (5) và (6) ta có : 0 hay const (7) dt Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian. Phương trình (5) được viết lại là : , H hay H, (8) t t (8) là phương trình định lí Liouville Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động sẽ không phụ thuộc thời gian. Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Khi đó ta có : 0 . Kết hợp với (8) suy ra : H , 0 . Theo cơ học lí thuyết, một đại lượng không phụ .
