Bài viết nghiên cứu xây dựng một lược đồ xấp xỉ Euler-Maruyama cải tiến cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không thuần nhất với hệ số khuếch tán liên tục Holder. Kết quả cho thấy lược đồ mới bảo toàn tính chất ổn định mũ và tính dương của nghiệm đúng. | Xây dựng lược đồ xấp xỉ ổn định cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không Ôtônôm với hệ số khuếch tán liên tục Holder HNUE JOURNAL OF SCIENCE DOI: Natural Sciences, 2019, Volume 64, Issue 3, pp. 3-17 This paper is available online at XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ ỔN ĐỊNH CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN KHÔNG ÔTÔNÔM ¨ VỚI HỆ SỐ KHUẾCH TÁN LIÊN TỤC HOLDER Lương Đức Trọng và Kiều Trung Thủy Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt. Bài báo nghiên cứu xây dựng một lược đồ xấp xỉ Euler-Maruyama cải tiến cho phương trình vi phân ngẫu nhiên không thuần nhất với hệ số khuếch tán liên tục H¨older. Kết quả cho thấy lược đồ mới bảo toàn tính chất ổn định mũ và tính dương của nghiệm đúng. Từ khoá: Liên tục H¨older, ổn định mũ, phương trình vi phân ngẫu nhiên, xấp xỉ Euler-Maruyama. 1. Mở đầu Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu phép xấp xỉ và tính ổn định của nghiệm xấp xỉ cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên (PTVPNN) không thuần nhất có dạng Z t Z t Xt = x0 + b(s, Xs )ds + σ(s, Xs )dWs , x0 ∈ R, t ∈ [0, +∞), () 0 0 với (Wt )0≤t≤T là một chuyển động Brown tiêu chuẩn xác định trên một không gian xác suất có lọc (Ω, F, (Ft )t≥0 , P) thỏa mãn điều kiện thông thường và b, σ là các hàm thực đo được. PTVPNN đã và đang được sử dụng một cách rộng rãi để mô phỏng nhiều quá trình ngẫu nhiên trong thực tế như giá trị tài sản, lãi suất trong toán tài chính, số lượng cá thể trong Sinh học hay chuyển động của vật thể trong Vật lí. . . Trong các ứng dụng đó, ta thường phải tính toán kì vọng có dạng E[f (Xt , 0 ≤ t ≤ T )] với f là một phiếm hàm từ C[0, T ] vào R. Trong phần lớn các trường hợp, việc tìm ra một biểu thức giải tích để tính E[f (Xt , 0 ≤ t ≤ T )] là rất khó khăn. Vì vậy, người ta thường tìm cách xấp xỉ X bởi đại lượng X (n) có thể mô phỏng được trên máy tính. Sau đó kì vọng E[f (Xt , 0 ≤ t ≤ T )] được tính thông qua thuật toán lặp Monte-Carlo .
