Sử dụng tích trên các quĩ đạo đối phụ hợp (K-quĩ đạo) của một MD5-nhóm liên thông cho phép xây dựng các quĩ đạo đối phụ hợp lượng tử (K-quĩ đạo lượng tử) theo lượng tử hoá biến dạng của Fedosov. Từ đó đưa ra được biểu diễn unita vô hạn chiều của MD5-nhóm đó. Các kết quả có thể được áp dụng tương tự cho các MD5-nhóm khác. | K-quĩ đạo lượng tử của MD5-nhóm Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP Số 12 năm 2007 K-QUĨ ĐẠO LƯỢNG TỬ CỦA MD5-NHÓM Dương Minh Thành * 1. Mở đầu Lượng tử hoá là quá trình xây dựng một hệ lượng tử từ một hệ cổ điển nhờ qui tắc lượng tử. Một đại lượng cổ điển F được lượng tử hoá thành đại lượng lượng tử Q(f), thỏa mãn nguyên lí bất định Dirac : Q( f , g ) i 1 Q( f ), Q ( g ) Nói cách khác, ánh xạ lượng tử i 1Q chính là một đồng cấu đại số Lie ứng với móc Poisson và giao hoán tử. Về phương diện toán học có thể coi Herman Weyl là người khởi xướng khái niệm lượng tử khi ông xây dựng ánh xạ Q từ các đại lượng cổ điển – các hàm trên không gian pha 2n , đến các đại lượng lượng tử, tức là các toán tử trên không gian Hilbert L2 2n : Q : C 2n B L 2 2n f Q( f ) Ngay từ những năm 70, Berezin đã đưa ra định nghĩa toán học tổng quát của khái niệm lượng tử, đó là một hàm tử từ phạm trù cơ học cổ điển sang phạm trù các đại số kết hợp. Cùng thời với Berezin còn có các nhà toán học Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnerowicz và Sternheimer đã xét lượng tử hoá như là sự biến dạng của tích giao hoán thông thường các hàm thành một * tích kết hợp, không giao hoán, được tham số hoá bởi hằng số Plank và thỏa mãn nguyên tắc tương thích. Họ đã phát triển một cách có hệ thống khái niệm về lượng tử hoá biến dạng, coi nó là một lí thuyết về * tích và dựa trên khái niệm này họ đã nhận được các công thức cũ và mới, độc lập với cơ học lượng tử. Một hệ trong cơ học cổ điển là một đa tạp symplectic mà ta gọi là không gian pha và một hàm Hamilton H trên X. Một lượng tử hoá một hệ cổ điển X gồm có 3 phần [1] : * ThS, Khoa Vật lí, Trường ĐHSP 83 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP Dương Minh Thành 1. Một họ các đại số phức không giao hoán A phụ thuộc vào tham số thực , mà ta sẽ đồng nhất với hằng số Planck, thỏa mãn : A A C ( X )C khi 0 2. Họ các ánh xạ tuyến tính Q : A A gọi là các toán tử lượng tử
