Bài giảng "Phương pháp tính: Phương trình vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán Cauchy, hệ phương trình vi phân, phương trình vi phân bậc cao, bài toán biên tuyến tính cấp 2. nội dung chi tiết. | Bài giảng Phương pháp tính: Phương trình vi phân - Nguyễn Hồng Lộc PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2013. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP. HCM — 2013. 1 / 29 Các công thức sai phân Sai phân tiến Áp dụng công thức Taylor: f (xk+1 ) = f (xk ) + f 0 (xk )(xk+1 − xk ) + o(xk+1 − xk ) ⇒ f (xk+1 ) ≈ f (xk ) + f 0 (xk )(xk+1 − xk ) f (xk+1 ) − f (xk ) ⇒ f 0 (xk ) ≈ xk+1 − xk Sai phân lùi Áp dụng công thức Taylor: f (xk ) = f (xk+1 ) + f 0 (xk+1 )(xk − xk+1 ) + o(xk − xk+1 ) ⇒ f (xk ) ≈ f (xk+1 ) + f 0 (xk+1 )(xk − xk+1 ) f (xk ) − f (xk+1 ) ⇒ f 0 (xk+1 ) ≈ xk − xk+1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP. HCM — 2013. 2 / 29 Các công thức sai phân Sai phân hướng tâm Xét 3 điểm cách đều xk−1 , xk , xk+1 và h = xk+1 − xk = xk − xk−1 . Áp dụng khai triển Taylor đến cấp 2: 2 f (xk+1 ) = f (xk ) + f 0 (xk ).h + f 00 (xk ) h2 + o(h2 ) (1) 2 f (xk−1 ) = f (xk ) − f 0 (xk ).h + f 00 (xk ) h2 + o(h2 ) (2) (1) − (2) ⇒ f (xk+1 ) − f (xk−1 ) = 2hf 0 (xk ) + o(h2 ) f (xk+1 ) − f (xk−1 ) ⇒ f 0 (xk ) ≈ 2h (1) + (2) ⇒ f (xk+1 ) + f (xk−1 ) = 2f (xk ) + h2 f 00 (xk ) + o(h2 ) f (xk+1 ) − 2f (xk ) + f (xk−1 ) ⇒ f 00 (xk ) ≈ h2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP. HCM — 2013. 3 / 29 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vi phân. Bài toán đơn giản nhất là bài toán Cauchy 0 y (x) = f (x, y (x)), a < x 6 b, (1) y (a) = y0 với y = y (x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a, b], y0 là giá trị ban đầu cho trước của y (x) tại x = a. Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một số phương trình đơn giản, còn đối với trường hợp f .
