Mời các bạn học sinh cùng tham khảo “Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh” sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những nội dung chính được đề cập trong đề thi để từ đó có kế hoạch học tập và ôn thi một cách hiệu quả hơn. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao! | Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hà Tĩnh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HÀ TĨNH DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2018 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 20/9/2018 (Đề thi có 1 trang, gồm 4 bài) Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. (5,0 điểm) Cho dãy số thực xn được xác định bởi công thức: 1 x1 1; xn 1 xn với mọi n 1, 2,3. 2 xn Chứng minh rằng: 1 1 1 a) n nxn n H n , với mọi n 1, 2,3. trong đó H n 1 . 6 2 n b) 9 x81 81 (kí hiệu x là phần nguyên của số thực x ). Bài 2. (5,0 điểm) Cho số nguyên a và đa thức P ( x ) hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất là 1. Ta xây dựng dãy số (an ) xác định bởi: a0 a , an 1 P an với mọi n N . Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên dương m thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: i) | am | | am 1 | | am 2 | . ii) am , am 1 , am 2 . là dãy tuần hoàn với chu kì T 2 . Bài 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC và hai điểm M, N nằm trên các cạnh AC, AB sao cho MN song song với BC. Điểm P di chuyển trên đoạn thẳng MN. Lấy các điểm E, F sao cho EP AC , EC BC , FP AB, FB BC . a) Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua một điểm cố định khi P di chuyển. b) Đường thẳng qua A vuông góc EF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng trung trực của BC đi qua trung điểm của PQ. Bài 4. (5,0 điểm) Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ít nhất có 2 viên kẹo. Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn một viên kẹo ở một loại kẹo. Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng. Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kì đều được lên bảng đúng một lần. Gọi tổng các số được viết lên bảng là M . a) Xác định giá trị nhỏ nhất của M . b) Với giả thiết tương tự nhưng thay 20 loại kẹo khác nhau
