Trong đề thi vào Đại học môn Toán khối A năm 2009 thì có thể nói câu V là câu khó nhất. Không một học sinh nào của trường THPT Mộc Hóa giải được trong khi thi. Thật sự nó khó lắm chăng? Nó cứ thôi thúc tôi, buộc tôi phải lang thang trên internet xem thiên hạ giải nó như thế nào và tôi cùng cậu học trò là em Đạt cũng đã tìm ra vài cách giải cho riêng mình. Xin giới thiệu lại bài toán và các cách giải của nó | LÃNG MẠN CÙNG MỘT BÀI TOÁN Trần Thanh Tùng Trong đề thi vào Đại học môn Toán khối A năm 2009 thì có thể nói câu V là câu khó nhất. Không một học sinh nào của trường THPT Mộc Hóa giải được trong khi thi. Thật sự nó khó lắm chăng Nó cứ thôi thúc tôi buộc tôi phải lang thang trên internet xem thiên hạ giải nó như thế nào và tôi cùng cậu học trò là em Đạt cũng đã tìm ra vài cách giải cho riêng mình. Xin giới thiệu lại bài toán và các cách giải của nó. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x y z thỏa x x y z 3yz ta có x y 3 x z 3 3 x y x z y z 5 y z 3 . Trước khi đi tìm lời giải cho bài bất đẳng thức này tôi có nhân xét Đây không phải là một bất đẳng thức đối xứng theo các biến nên đa số học sinh chưa có thói quen giải nó. Các bất đẳng thức trong các kì tuyển sinh trước thường là bất đẳng thức đối xứng. Vế phải có ba biến và vế trái có hai biến và đồng bậc nên trong suy nghĩ tìm lời giải là ta phải giảm biến x trong vế trái và buộc vế trái xuất hiện y z nhưng nếu làm theo như vầy thì ta chỉ thu được đẳng thức. May mắn cho ta là có một bất đẳng thức quen thuộc là y z 2 4yz và các dạng biến thể của nó nên việc tìm lời giải cho bất đẳng thức sẽ xoay quanh phát hiện này. Cách giải 1 của phó giáo sư Phan Huy Khải 7 b c - a a c - b b a - c Đặt a y z b z x c x y x -2- y -2---- z Từ điều kiện bài toán ta suy ra 4a2 b c 2 3 b - c 2 a2 b2 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 5a3 b3 c3 3abc o 5a2 a b c 3bc Từ a a b2 - bc c2 suy ra aa bc 2 - bc c2. 2a2 2 b2 t c2 - 2bc b2 c2 - 2a b c 2 2a2 a b c 2 2. A điing điing. 3a 3bc Đẳng thức xảy ra khi x y z. Thiên hạ cho rằng cách giải này gọn đẹp nhất Cách giải 2 của tiến sĩ Lê Thống Nhất Từ giả thiết bài toán ta có x xy xz 3yz o x y x z 4yz. Đặt a x y b y z thì ab 4yz. Ta có hằng đẳng thức a3 b3 a b a2 - ab b2 ự2 a2 b2 a - b 2 ab J2 a-b 2 2ab a-b 2 ab A2 y-z 2 8yz y-z 2 4yz y z 2 4yz y z 2 ự4 y z 2 y z 2 2 y z 2 Tức là x y 3 x z 3 2 y z 2 1 . Mặt khác ta lại có 3 x y x z y z 12yz y z 3 y z 2 y z 3 y z 2 2 Cộng 1 và 2 ta được kết quả .
