Nội dung trình bày một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến; cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn. Luận văn đã chứng minh một cách chi tiết các kết quả chính trong bài báo của Song-Ying Li và My-An Tran([16]). Các kết quả bao gồm, chứng minh các ước lượng cận trên và cận dưới cho phổ của toán tử Laplace–Beltrami trên các miền giả lồi đặc biệt. Từ đó đưa ra các áp dụng để đánh giá cận trên của giá trị phổ trên các miền giả lồi với metric K¨ahler-Einstein và metric Bergman. | Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Infimum của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG HÀ NỘI - 2015 Mục lục Phần mở đầu 1 1 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến 3 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi . . . . . . . . . . . . 3 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler . . . . . . . . 5 2 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn 9 Ước lượng cận dưới của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ước lượng cận trên của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Giá trị cực đại của λ1 trên một vài miền đặc biệt . . . . . . 19 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 1 Phần mở đầu Cho (M n , g) là một đa tạp K¨ahler n chiều với metric K¨ahler n X g= gij dzi ⊗ dz j . i,j=1 Giả sử n X ∂2 ij ∆g = −4 g i,j=1 ∂zi ∂z j là toán h tửit Laplace-Beltrami tương ứng với metric g . Ở đây ta dùng ký −1 hiệu g ij = gij . Khi đó, cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami được xác định bởi n ij ∂f ∂f Z X ∞ λ1 (∆g , M ) = inf 4 g dVg : f ∈ C0 (M ), kf kL2 = 1 M i,j=1 ∂zi ∂z j trong đó dVg là dạng thể tích trên M tương ứng với metric K¨ahler g . Bài toán .
