Một trong những biến dạng của hệ phương trình Navier - Stokes được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi J. Roh năm 2001. Việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của hệ g - Navier - Stokes với trễ vô hạn đã được nhóm tác giả , trình bày trong. | Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình g-Navier-Stokes với trễ vô hạn KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES VỚI TRỄ VÔ HẠN Đặng Thị Phương Thanh, Nguyễn Thanh Bình Trường Đại học Hùng Vương TÓM TẮT Một trong những biến dạng của hệ phương trình Navier - Stokes được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi J. Roh năm 2001. Việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của hệ g - Navier - Stokes với trễ vô hạn đã được nhóm tác giả , trình bày trong [1]. Trong bài báo này, mục đích của chúng tôi là giảm nhẹ các điều kiện trong [1, Theorem ] (cụ thể là bỏ đi điều kiện 2g > nl1g0) mà không làm ảnh hưởng đến các kết quả đã đạt được. Từ khóa: g-Navier-Stokes, trễ vô hạn, nghiệm yếu, phương pháp Galerkin. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Cho W là miền bị chặn trong ¡2 với biên G. Chúng ta xét hệ phương trình g-Navier-Stokes với trễ vô hạn sau: ∂u -νDu + (u.∇)u + ∇p = f (t) + F (t,ut), trong (t, + ∞) × Ω , ∂t ∇. (gu) = 0, trong (t, + ∞) × Ω (1) u (t, x) = 0, trên (t, + ∞) × G, u (τ + s, x) = f (s, x), với s ∈ (-∞, 0), x ∈ W, trong đó u = u (t,x) = (u 1 ,u 2 ),p = p (x,t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, v = const > 0 là hệ số nhớt và u0 là vận tốc ban đầu, f = f (x, t) là ngoại lực. Để nghiên cứu bài toán (1) ta giả thiết: • W là miền tùy ý (bị chặn hoặc không bị chặn) trong ¡2 thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré: Tồn tại l1 > 0 sao cho: 1 ∫|j | ∀j ∈ H 01 ( W ) l∫ 2 gdx ≤ | ∇j | 2 gdx, W 1W • g ∈ W1,∞ (W) là hàm thỏa mãn: 1 0 < m0 ≤ g (x) ≤ M0 với mọi x = (x1, x2) ∈ W, và |∇g|∞ < m0 l12 . ( ) 2 • f ∈ L2loc ;Vg' thỏa mãn: ∫e ss f ( s ) V ' ds < +∞ , trong đó s là số dương cố định thỏa mãn g -∞ | ∇g |∞ s < 2vl1g0 (Chú ý rằng g 0 = 1 - 1 ). ml 0 1 2 • F (t, ut) : (τ, T) × Cγ (Hg) → L2 (W,
