Bài giảng "Lý thuyết đồ thị - Bài 5: Cây khung của đồ thị" cung cấp cho người học các kiến thức: Cây khung của đồ thị, đồ thị có trọng số, bài toán cây khung nhỏ nhất, thuật toán Prim, thuật toán Kruskal,. nội dung chi tiết. | Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Bài 5: Cây khung của đồ thị Bài 5 Cây khung của đồ thị Bài toán mở đầu Hệ thống đường giao thông ở Maine như hình bên. Tuyết đang phủ toàn bộ các con đường. Cần khôi phục lại hệ thống bằng cách cào tuyết một số con đường. Không nhất thiết phải cào tuyết hết mọi con đường. 2 Cây khung Định nghĩa: Cho G là đơn đồ thị. Một cây T được gọi là cây khung của G nếu và chỉ nếu: T là đồ thị con của G T chứa tất cả các đỉnh của G VD: Đồ thị và các cây khung của nó 3 Cây khung (tt) Định lý: Một đơn đồ thị liên thông nếu và chỉ nếu nó có cây khung. Chứng minh: Nếu G có chứa cây khung thì do tính chất của cây khung là liên thông và cây khung chứa tất cả các đỉnh của G. Suy ra các đỉnh của G luôn được nối với nhau hay G liên thông. Xét G liên thông. Giả sử trong G còn tồn tại chu trình, xóa bớt một cạnh trong chu trình này, khi đó đồ thị vẫn còn liên thông. Nếu vẫn còn chu trình thì lặp lại bước trên. Cứ thế cho đến khi không còn chu trình nữa. Khi đó ta sẽ được cây khung 4 Đồ thị có trọng số Đồ thị có trọng số: là đồ thị mà mỗi cạnh của nó được gán với một con số thực chỉ chi phí phải tốn khi đi qua cạnh đó. Ký hiệu: c(u,v) là trọng số của cạnh (u,v) Trọng số có thể âm, có thể dương tùy theo ứng dụng. VD: 1 5 2 7 3 -3 6 2 8 4 1 5 6 5 Đồ thị có trọng số (tt) Đồ thị có trọng số có thể được biểu diễn bằng ma trận kề trọng số. Cụ thể, Cho đồ thị G = , với V = {v 1, v2, , vn}. Ma trận kề trọng số biểu diễn G là một ma trận vuông A, kích thước nxn, được xác định như sau: c(vi , v j ), (vi , v j ) E Aij = , (vi , v j ) E 6 Đồ thị có trọng số (tt) VD: 5 2 5 7 −3 8 6 1 5 2 7 3 -3 6 7 2 8 A= 2 −3 1 4 1 5 6 8 1 6 7 Bài toán cây khung nhỏ nhất Tìm các con đường để cào tuyết sao cho chi phí là nhỏ nhất 20 10 15 15 3 9 10 5 8 20 20 10 10 15 15 15 9 10 5 59 70 8 Bài toán cây
