Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 thông tin đến các bạn lời giải của đồng phương Toán học bao gồm từ bài 1 đến bài 4, củng cố kiến thức cho kỳ thi THPT sắp đến. tài liệu. | Đáp án đề thi trường đông Toán học ngày 10/12/2014 (Ngày thi thứ nhất) Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Ngày thi thứ nhất Thời gian: 180 phút Bài 1 (5 điểm). Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được > 0 với mọi ∈ N* . Từ công thức truy hồi ta có 11 11 +1 = 1 + 2 + . . . + = ( 1 + 2 + . . . + −1 ) + = + , với mọi ≥ 2. Từ đó suy ra 11 11 +1 > , suy ra +1 > với mọi ≥ 2. Như vậy dãy ( ) là dãy tăng kể từ số hạng thứ hai. Giả sử ( ) bị chặn trên thì tồn tại giới hạn hữu hạn lim = , với là nghiệm của phương trình 11 = 11 + , hay = 0. Điều này là vô lý vì ( ) là dãy các số dương tăng. Do đó ( ) không bị chặn trên và lim = +∞. Từ đẳng thức 11 11 +1 − = ta suy ra ( +1 − )( 10 9 9 10 +1 + +1 + . . . + +1 + ) = . Do đó +1 − = < , 10 +1 + 9 +1 9 10 + . . . + +1 + 11 10 vì 0 < < +1 với mọi ≥ 2. Từ đó suy ra 1 0 < +1 − < . 11 9 Vế phải là dãy số tiến tới 0 khi tiến ra vô cùng. Vậy lim( +1 − ) = 0. Bài 2 (5 điểm). Quy nạp theo . Dễ chứng minh bất đẳng thức cho = 0, 1 từ giả thiết 1 − 0 ≥ 1 bằng biến đổi đại số. Xét ≥ 1. Giả sử bất đẳng thức đúng đến . Ta chứng minh cho + 1. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh là tổng của hai bất đẳng thức (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 1 1 1 1+ 1+ ··· 1 + ≤ 1+ 1+ ··· 1 + 0 1 − 0 − 0 0 1 và (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 1 1+ ··· 1 + 0 1 − 0 − 0 +1 − 0 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 1 1 ≤ 1+ 1+ ··· 1 + . 0 1 +1 1 Trường đông Toán học - VTH 10/12/2014 Như vậy chỉ cần chứng minh bất đẳng thức cuối này là đủ. Để chứng minh bất đẳng thức này, một lần nữa ta sử dụng quy nạp theo . Trường hợp = 0 được chứng minh dễ
