Đề thi VMEO IV tháng 10 đăng tải trên diễn đàn Toán học với các đề thi dành cho cấp trung học cơ sở; cấp trung học phổ thông. đề thi để nắm chi tiết hơn các nội dung của từng bài tập. | Đề thi VMEO IV tháng 10 – Diễn đàn Toán học ĐỀ THI VMEO IV THÁNG 10 Diễn đàn Toán học Ngày 2 tháng 10 năm 2015 1 1. CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 2 1 CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Bài toán . Cho α là số thực thỏa mãn α3 = α + 1. Hãy xác định tất cả các bộ tứ hữu tỉ (a, b, c, d) thỏa mãn √ aα2 + bα + c = d Bài toán . Cho tam giác ABC có góc A tù và đường cao AH với H thuộc BC. Trên CA, AB lấy các điểm E, F sao cho ∠BEH = ∠C và ∠CF H = ∠B. Gọi BE cắt CF tại D. Chứng minh rằng DE = DF . 4 Bài toán . Tìm tất cả các số nguyên a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3(ab + bc + ca). 4 Bài toán . Trong Vượt ngục 4, Michael Scofield phải đột nhập vào Tổ Chức để lấy mảnh cuối cùng của Scylla. Ở đây, anh bắt gặp một loại mã hoá bảo vệ Scylla khỏi bị đánh cắp. Loại mã này yêu cầu chọn ra tất cả các số thuộc bảng mã hoá 2015 × 2015 sao cho số này thoả mãn các điều kiện sau: • Số nằm liền trên số này trong bảng mã hoá phải chia 2 dư 1. • Số nằm bên phải số này trong bảng mã hoá phải chia 3 dư 2. • Số nằm liền dưới số này trong bảng mã hoá phải chia 4 dư 3. • Số nằm bên trái số này trong bảng mã hoá phải chia 5 dư 4. Hỏi Scofield đã phải chọn ra bao nhiêu số như thế ? Ở đây, bảng mã hoá n × n là bảng gồm n2 ô vuông, mỗi ô được đánh số từ 1 đến n2 . Số 1, 2, · · · , n được đánh vào hàng thứ nhất theo thứ tự tăng dần. Số n + 1, · · · , 2n được đánh vào hàng thứ hai theo thứ tự giảm dần, . Ví dụ, bảng mã hoá 3 × 3 có dạng: 4 Hết đề cấp THCS VMEO IV Diễn đàn Toán học 2. CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 3 2 CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Bài toán . Với n là một số nguyên dương, dãy số an được xác định bởi công thức a1 = 1 1 √ an+1 = − 2 a1 + a2 + · · · + an Tìm giới hạn của dãy số Sn xác định bởi Sn = a1 + a2 + · · · + an 4 Bài toán . Cho tam giác ABC có P, Q là hai điểm đẳng giác nằm bên trong. Gọi AP, AQ lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác QBC và P BC tại M, N (M, N nằm trong tam giác ABC). a) Chứng
