Tài liệu sẽ giải bài toán Quả cầu đơn vị trong không gian n chiều Rn được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm (x1, ,xn) sao cho: x1 2 + . + xn 2 ≤ 1. tài liệu để nắm chi tiết các bước lập luận, phương pháp giải bài toán nêu trên. | Thể tích và diện tích của hình cầu n chiều - Phải chăng kích thước vũ trụ chỉ bằng 1 điểm vô hạn chiều Thể tích và diện tích của hình cầu n chiều - Phải chăng kích thước vũ trụ chỉ bằng 1 điểm vô hạn chiều? Quangnx_ltd@ Quả cầu đơn vị trong không gian n chiều Rn được định nghĩa là tập hợp tất cả các điểm (x1, ,xn) sao cho: x12 + . + xn2 ≤ 1 Vấn đề đặt ra cho chúng ta là: Thể tích của hình cầu đơn vị sẽ như thế nào khi số chiều thay đổi, hay nói cách khác, với số chiều khác nhau thì giá trị thể tích, diện tích bề mặt của hình cầu đơn vị trong từng trường hợp sẽ được tính như thế nào? Vậy liệu rằng thể tích, diện tích bề mặt của hình cầu có hội tụ hay phân kỳ khi số chiều của không gian tiến về vô cùng? Bằng trực giác, chúng ta có thể nghĩ ngay rằng nếu số chiều càng ngày càng cao thì càng có nhiều ngăn trong quả cầu dơn vị, điều đó cho thấy thể tích của hình cầu dường như sẽ tăng lên rất, rất nhiều; và có lẽ là thể tích của chúng sẽ dần tiến ra vô hạn?!. Nhưng câu trả lời đúng rất thú vị và đáng ngạc nhiên bởi vì nó khẳng định rằng trực giác của chúng ta trong trường hợp này là không chính xác. Bằng cách sử dụng giải tích hàm nhiều biến, công thức tổng quát để tính thể tích hình cầu đơn vị (Bán kính R = 1) trong không gian n chiều là: V(n) = πn/2/Γ (n/2+1) (1) Còn công thức tính diện tích bề mặt hình cầu đơn vị : S (n-1) = n Rn-1 πn/2 / Γ( n/2 + 1) (2) trong đó Γ() là hàm Gamma là một tích phân Euler loại 2 và cũng là trường hợp 1/2 tổng quát của hàm giai thừa Γ (s+1) = sΓ (s), Γ (1) = 1, Γ (1/2) = π , cụ thể với n là số tự nhiên ta có: Γ (n+1) = n! (3) Γ (n+1/2) = π1/ (2n – 1)/2n (4) Ta có các trường hợp: o Khi n chẵn, thì thể tích của hình cầu trong không gian n chiều cho bởi công thức trên sẽ là: Theo (3) thì V(n) = πn/2 /(n/2)! o Khi n lẻ, n = 2k + 1, thì: Γ(n/2 + 1) = Γ(k + 1 + ½) = π1/2 (2(k+1)-1)/2k+1 , và V(n) = 2(n-1)/2 π(n-1)/2 / n , mà 2(n-1)/2 / n = 2n ((n – .
