Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa" cung cấp cho người học các kiến thức về "Chuỗi số" bao gồm: Định nghĩa, tính chất, chuỗi không âm, tiêu chuẩn D’alembert, tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi có dấu tùy ý,. . | Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1) Chương 5: CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Phần 1: CHUỖI SỐ ĐỊNH NGHĨA Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới Sn a1 a2 an , n N {Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu: an n 1 ( Nếu {an} bắt đầu từ 0 thì số hạng đầu của Sn là a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát ĐỊNH NGHĨA {Sn} có giới hạn hữu hạn khi n an hội tụ n 1 Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ. Đặt: an lim Sn : tổng chuỗi n 1 n VÍ DỤ Khảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có: 1 1/ n 1 n (n 1) 1 1 1 Tổng riêng: Sn n (n 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 3 n (n 1) 1 n 1 1 (n 1) 1 Vậy chuỗi hội tụ và 1 n 1 n (n 1) 1 1 1 1 Sn 1 2/ n 1 n 2 3 n n n n Vậy chuỗi phân kỳ. n 1 1 1 1 ( 1) n 1 1 3/ Sn 2 3 ( 1) n n 2 2 2n 2 n 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 3 2 Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3. TÍNH CHẤT 1/ an và an có cùng bản chất (ht/pk) n 1 n p 2 / an , 0, và an có cùng bản chất n 1 n 1 TÍNH CHẤT 3 / an A, bn B n 1 n 1 ( an bn ) A B n 1 • Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ • Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳ Điều kiện cần của sự hội tụ Nếu chuỗi an hội tụ thì lim an 0 n n 1 Áp dụng: Nếu lim an 0 ( hoặc không tồn tại ) thì n an không hội tụ. n 1 Ví dụ n 1/ n phân kỳ vì n 1 ( 1) n n n lim an lim n 1 0 n n ( 1) n n n n 3n 2 2 / ( 1) n 1 2n 1 n 3n 2 n an 2n 1 0 chuỗi phân kỳ an Ví dụ 3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có: n x n n 1 k 1 2 n Sn x x x x k 1 1 xn x , x 1 1 x n, khi x 1 khi x = 1: lim Sn chuỗi pk n n khi |x| > 1: lim x hoặc không tồn .
