Trong toán học, một phương trình là một cách viết thể hiện hai hàm số bằng nhau đối với một số giá trị (hoặc không có giá trị nào) của các biến số. Các giá trị của các biến số ở đó hai hàm số bằng nhau được gọi là nghiệm số của phương trình. Việc tìm ra các nghiệm số của phương trình gọi là giải phương trình. Nghiệm số, nếu tồn tại, có thể tìm thấy bằng biến đổi toán học và biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản hoặc tìm thấy dưới dạng số bằng. | Tổng quan Phương trình Đại số Tổng quan Phương trình Đại số PHÖÔNG TRÌNH A. CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Phaàn naøy ñeà caäp ñeán caùc phöông phaùp giaûi caùc phöông trình coù baäc nhoû hôn 5 I. Phöông trình baäc nhaát Daïng toång quaùt : ax + b = c Bieän luaän : b • a ≠ 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát x = − a • a = 0 : phöông trình coù daïng 0x = −b b ≠ 0 : phöông trình voâ nghieäm b = 0 : phöông trình coù voâ soá nghieäm II. Phöông trình baäc hai Daïng toång quaùt : ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) (1) Bieän luaän : Ta xeùt ∆ = b 2 − 4ac • ∆ < 0 : phöông trình voâ nghieäm. b • ∆ = 0 : phöông trình coù nghieäm keùp : x1 = x2 = − 2a −b + ∆ −b − ∆ • ∆ > 0 : phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät : x1 = , x2 = 2a 2a Ví dụ. Chứng minh rằng phöông trình x + ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = 0 voâ nghieäm vôùi 2 a, b, c laø 3 caïnh cuûa moät tam giaùc . Giaûi. Ta coù ∆ = ( a + b + c ) − 4 ( ab + bc + ca ) = a 2 + b 2 + c 2 − 2 ( ab + bc + ca ) 2 Maø ∆ < 0 do a, b, c laø ba caïnh tam giaùc ( xem phaàn baát ñaúng thöùc hình hoïc) Ñònh lyù Viet vaø moät soá öùng duïng Giaû söû ∆ ≥ 0 . Goïi x1 , x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình (1) thì : −b S = x1 + x 2 = a P = 2 = c a Baèng ñònh lyù Viet chuùng ta coù theå xeùt daáu cuûa caùc nghieäm nhö sau - Phöông trình coù hai nghieäm döông ⇔ ∆ ≥ 0 vaø P > 0 vaø S > 0 - Phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu ⇔ ∆ ≥ 0 vaø P < 0 - Phöông trình coù hai nghieäm aâm ⇔ ∆ ≥ 0 vaø P > 0 vaø S < 0 Thí duï . Tìm m sao cho phöông trình x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 6m + 1 = 0 (*) coù hai nghieäm khoâng nhoû hôn 2 Giaûi Ñaët t = x − 2 thì phöông trình ñaõ cho trôû thaønh t 2 − 2mt + 2m − 3 = 0 (**) Phöông trình (*) coù hai nghieäm lôùn hôn hoaëc baèng 2 ⇔ phöông trình (**) coù hai nghieäm khoâng aâm ∆'≥ 0 m 2 − 2m + 3 ≥ 0 3 ⇔ S ≥ 0 ⇔ 2m ≥ 0 ⇔m≥ P ≥ 0 2m − 3 ≥ 0 2 3 Vaäy m ≥ thì phöông trình (*) coù hai nghieäm
