Tài liệu hướng dẫn phương pháp tích phân từng phần, nguyên hàm và tích phân từng phần. Đây là tư liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh phục vụ công tác học tập và luyện thi. tài liệu để nắm chi tiết nội dung kiến thức. | Mở đầu nguyên hàm và tích phân từng phần BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI 1 MỞ ĐẦU NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã đề thi 132 Họ, tên thí sinh:. Trường: . A – PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Xuất phát từ đạo hàm của hàm số tích, ta có ⎡u(x).v(x)⎤ ′ = u′(x).v(x) + v ′(x).u(x) ⎣ ⎦ Lấy nguyên hàm hai vế ta được: ′ ∫ (u(x)v(x)) dx = ∫ ⎡⎣u′(x)v(x) + u(x)v′(x)⎤⎦ dx ⇔ u(x)v(x) = ∫ u′(x)v(x) dx + ∫ u(x)v ′(x) dx ⇒ ∫ u(x)d(v(x)) = u(x)v(x)− ∫ v(x)d(u(x)). Lấy tích phân hai vế, ta được: b b ⎡u(x).v(x)⎤ ′ dx = ⎡u′(x).v(x) + v ′(x).u(x)⎤ dx ∫ ⎣ ⎦ ∫⎣ ⎦ a a b b b ⇔∫ u(x)d(v(x)) = u(x)v(x) − ∫ v(x)d(u(x)). a a a b b b hay ∫ u(x).v ′(x) dx = u(x)v(x) − ∫ v(x).u′(x) dx. a a a Tổng quát sử dụng tích phân từng phân khi có sự kết hợp giữa 2 loại hàm chẳng hạn f ( x,e x ), f ( x,sin x), f ( x,ln x). hoặc đơn giản là có F(x), f (x), f ′(x), f ′′(x). Câu 1. Cho F(x) = (x −1)e x là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2 x . Tìm một nguyên hàm của hàm số f ′(x)e2 x . A. ∫ f ′(x)e2 x dx = 2− x x e + C. B. ∫ f ′(x)e2 x dx = (4− 2x)e x + C. 2 C. ∫ D. ∫ f ′(x)e2 x dx = (2− x)e x + C. f ′(x)e2 x dx = (x − 2)e x + C. 1 f (x) Câu 2. Cho F(x) = 2 là một nguyên hàm của hàm số . Tìm một nguyên hàm của hàm số 2x x f ′(x)ln x. BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM 1 PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM 2 PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI ln x 1 ln x 1 A. ∫ f ′(x)ln x dx = x 2 + 2 + C. 2x B. ∫ f ′(x)ln x dx = x2 + 2 + C. x ⎛ ln x 1 ⎞ ⎛ ln x 1 ⎞⎟ C. ∫ f ′(x)ln x dx = −⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟⎟ + C. D. ∫ f ′(x)ln x dx = −⎜⎜
