Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức schur và phương pháp biến đổi pqr', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | bất đẳng thúc SCHUR VÀ PHƯƠNG PHÁP Đổi BIẾN P Q R Võ Thành Văn Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế Như các bạn đã biết bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT. Qua bài viết này tôi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật để sử dụng tốt BDT Schur đó là kết hợp với phương pháp đổi biến p ợ r. Trước hết tôi xin nhắc lại về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p ợ r. 1 Bất đẳng thức Schur Định lý 1 Bất đắng thức Schur Với mọi so thực không âm a b c k ta luôn có ak a b a c bk b c b a ck c a c b 0. Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k 1 và k 2 a a b a c b b c b a c c a c b V 0 a2 a b a c b b c b a c2 c a c b V 0 ii 2 Phương pháp đổi biến p r Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thi ta có thể đổi biến lại như sau Đặt p a b c q ab bc ca r abc. Và ta thu được một số đẳng thức sau ab a b bc b c ca c a pq 3r a b b c c a pq r ab a2 b2 bc b2 c2 ca c2 a2 p2q 2q2 pr a b a c b c b a c a c b p q a2 b2 c2 p2 2q a3 b3 c3 p3 - 3pq 3r a4 b4 c4 p4 4p2q 2q2 4pr a2b2 b2c2 c2a2 q2 2pr a3b3 b3c3 c3a3 q3 3pqr 3r2 a4b4 b4c4 c4a4 q4 - 4pq2r 2p2r2 4qr2 Đặt L p2q2 18pqr 27r2 4q3 4p3r khi đó A 42 c2a pq - 3r pL a b b c c a ipL 1 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Có thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các biến p ợ r mà các biến a b c ban đầu không có như p2 3ợ p3 27r ợ2 3pr pợ 9r 2p3 9r 7pợ p2ợ 3pr 4ợ2 p4 4ợ2 6pr 5p2ợ Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ các bạn có thể phát triển thêm nhiều đẳng thức bất đẳng thức liên hệ giữa 3 biến p ợ r. Và điều quan trọng mà tôi muốn nói đến là từ bất đẳng thức i và ii ta có r pí4qĩyí2 t0 i 9 r 4ợ - - ợ từ ii 6p Tuy nhiên trong một số trường hợp thi có thể các đại lượng 4ợ p2có thể nhận giá tri âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng p 4ợ - p2 1 r max 0 4 4ợ - p2 p2 - ợ ì r max u 1 6p Ị Có lẽ đến đây các bạn đã hiểu được phần nào về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến
