VỀ MỘT CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị, trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 . Tìm GTLN , GTNN (nếu có) của biểu thức P = F(x ; y) | VỀ MỘT CÁCH T ÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN SỐ Đỗ Bá Chủ - Thái Bình tặng Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về một phương pháp tìm giá trị lớn nhất GTLN giá trị nhỏ nhất GTNN của biểu thức chứa hai biến số nhờ tập giá trị trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán Cho các số thực x y thoả mãn điều kiện G x y 0. Tìm GTLN GTNN nếu có của biểu thức P F x y . Phương pháp giải Gọi T là tập giá trị của P. Khi đó m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm x y G x y 0 F x y m Sau đó tìm các giá trị của tham số m để hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra tập giá trị T của P rồi suy ra GTLN GTNN nếu có của P. Sau đây là các bài toán minh hoạ . frBài toán 1 Cho hai số thực x y thoả mãn điều kiện Vx Vx -1 3ỹ 3ỹ -1 xỹ Tìm GTLN GTNN của biểu thức F Vx -ựỹ .ựxỹ . Lời giải Gọi T1 là tập giá trị của F . Ta có m e T1 hệ sau có nghiệm Vx Vx - 1 ỹ 3ỹ - 1 xỹ I 3x -ựy 3 xy m Đặt S vx ỹ P 3 xy thì 3x y 3S P S2 4P Hệ I trở thành S2 - S - 3P 0 s2 2S - 3m 0 ZTTX j II S P m P m - S 4 S2 S Tacó S2 4P S2 S2 -4S 0 0 S 4 3 Từ đó hệ I có nghiệm hệ II có nghiệm S P thoả mãn S2 4P phương trình S2 2S - 3m 0 có nghiệm S 0 S 4 điều này xảy ra khi và chỉ khi AS 1 3m 0 ì m -- 0 S1 -1 - V1 3m 4 3 0 m 8 .Do đó T1 0 8 0 S2 -1 V1 3m 4 l1 1 3m 5 Vậy minF 0 maxF 8. ử Bài toán 2 Cho các số thực x y thoả mãn x2 - xy y2 3 Tìm GTLN GTNN của biểu thức G x2 xy - 2y2 Lời giải Gọi T2 là tập giá trị của G . Ta có m e T2 hệ sau có nghiệm x2-xy y2 3 x2 xy - 2y2 m III Trang 1 2 __ -Ị x 3 2 x m ta có hệ Nếu y 0 thì hệ III trở thành Nếu y 0 thì đặt x ty y2 t2 -1 1 3 y2 t2 1 - 2 m L 2 3 y t2-t 1 1 . 3 t2 1 - 2 m l t2 -1 1 m _ y t . 1 Vt2 m - 3 t2 3 ữ ĩ IV m 3 t m 6 0 _ x 3 3 1 m 3 Trường hợp này hệ III có nghiệm hệ IV có nghiệm y 0 phương trình m - 3 t2 - m 3 t m 6 0 2 có nghiệm . . 3 Nếu m 3 thì 2 có nghiệm t 2 Nếu m 3 thì 2 có nghiệm At -3m2 - 6m 81 0 -1 - 2V7 m -1 2ạ 7 m 3 Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị của m để hệ III có nghiệm
