Tham khảo tài liệu 'phương trình đa thức bất khả quy', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 3. Đa thức bất khả quy . Đa thức với hệ số nguyên Đa thức với hệ số nguyên là đa thức có dạng P x anxn an-1xn-1 . aix ao với ai là các số nguyên. Ta ký hiệu tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên là Z x . Ta có các kết quả cơ bản sau đây về đa thức với hệ số nguyên. ì Nếu P x có nghiệm nguyên x a thì phân tích được P x x-a Q x với Q x là đa thức với hệ số nguyên. 2 Nếu a b nguyên và a b thì P a - P b chia hết cho a - b. 3 Nếu x p q là một nghiệm của P x với p q 1 thì p là ước của a0 và q là ước của an. Đặc biệt nếu an 1 thì nghiệm hữu tỷ là nghiệm nguyên. 4 Nếu x m 4ñ là nghiệm của P x với m n nguyên n không chính phương thì x m -4ñ cũng là nghiệm của P x . 5 Nếu x m 4ñ với m n nguyên n không chính phương thì P x M N Jñ với M N nguyên. Đa thức với hệ số nguyên sẽ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên. Điều ngược lại không đúng có những đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên nhưng các hệ số của nó không nguyên. Ví dụ. Các đa thức x2-x 2 x3-x 6 nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên. Đa thức với hệ số hữu tỷ nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được gọi là đa thức nguyên. Một đa thức với hệ số hữu tỷ P x bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng a Q x với a b là các số nguyên và Q x là đa thức với hệ số nguyên. b . Đa thức bất khả quy Định nghĩa. Cho P x là đa thức với hệ số nguyên. Ta gọi P x là bất khả quy trên Z x nếu P x không phân tích được thành tích hai đa thức thuộc Z x với bậc lớn hơn hay bằng 1. Tương tự định nghĩa đa thức bất khả quy trên Q x . Định lý Tiêu chuẩn Eisenstein Cho P x anxn an- -1 . . a1x a0. Nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho i an không chia hết cho p ii a0 a1 . an-1 chia hết cho p iii a0 không chia hết cho p2 thì đa thức P x bất khả quy. Định lý Quan hệ bất khả quy trên Z x và Q x Nếu đa thức P x e Z x bất khả quy trên Z x thì cũng bất khả quy trên Q x . Bổ đề Gauss. Ta gọi đa thức P e Z x là nguyên bản nếu các hệ số của nó nguyên tố cùng nhau. Ta có bổ đề Gauss Tích của hai đa thức nguyên bản là nguyên bản. Chứng
