Tham khảo tài liệu 'phương pháp trình nghiệm nguyên', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a b c Để giải phương trình ta tìm một nghiệm riêng x0 y0 từ đó suy ra tất cả các nghiệm của phương trình Jx x0 t t e Z Ly y0 - at Ví dụ. Giải phương trình 12x 37y 2008 Giải Từ phương trình ta suy ra y 4 mod 12 ta chọn y0 4 x0 nghiệm của phương trình là x 155 37t t e Z Ly 4 - 12t 2. Phương trình bậc nhất ba ẩn ax by cz d Để giải phương trình ta đưa về dạng ax by d - cz với a b 1 rồi chọn z a tùy ý. t e Z Nghiệm của phương trình ban đầu là Ví dụ. Giải phương trình 13x 25y - 41z 2009 Giải. Cho z a 13x 25y 2009 41a phương trình 13x 25y 1 có một nghiệm là 2 -1 nên nghiệm của là Jx 2 2009 41a 25b y - 2009 41a - 13b x 2 2009 41a 25b y - 2009 41a - 13b z a t e Z 3. Phương trình ax by cxy d _ _ . . b . ab Ta đưa về dạng tích x a cy - a cy d cx b cy a ab cd cc Từ đây ta có cx b cy a là các ước của ab cd Ví dụ. Giải phương trình 2x 5y - 3xy 1 Giải x 2 - 3y - 5 3. 2 - 3y 1 - 10 3 3x - 5 3y - 2 7 từ đây ta có các nghiệm là 4 1 và 2 3 . 4. Một vài phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên . Đưa về tổng các bình phương Ví dụ. Giải phương trình x2 - 6xy 14y2 - 10y - 16 0 Giải. phương trình x - 3y 2 5 y - 1 2 21 1 5 y - 1 2 21 y - 1 2 0 1 4 y - 1 2 0 x - 3y 2 21 loại y - 1 2 1 x - 3y 2 16 ta có các nghiệm 4 0 -4 0 10 2 2 2 y - 1 2 4 x - 3y 2 1 ta có các nghiệm 10 3 8 3 -2 -1 -4 -1 . Đưa về tích số bằng 0. Ví dụ. Giải phương trình 6x2 - 10xy 4y2 3x - 2y - 32 0 Giải. Phương trình 2x - 2y 1 3x - 2y 32 Do 2x - 2y 1 là số lẻ nên 2x - 2y 1 bằng 1 từ đây ta có các nghiệm 32 32 - 30 - 29 . Dùng các tính chất chia hết đồng dư. Ví dụ. Giải phương trình 3x2 - 2008y2 2009 Giải. Nhận xét nếu x chẵn thì x2 0 mod 4 còn nếu x lẻ thì x2 1 mod 4 tức là một số chính phương đồng dư với 0 hoặc 1 modulo 4. Ta thấy vế trái của phương trình luôn đồng dư với 0 hoặc 3 mod 4 còn vế phải đồng dư với 1 mod 4 như vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ. Giải phương trình x3 .