Tham khảo tài liệu 'số nguyên và phép chia hết', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | SỐ NGUYÊN PHÉP CHIA HẾT 1. Định nghĩa. Tập các số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số đối của chúng và được ký hiệu là Z. Z 0 1 2 . Số nguyên lớn hơn 0 gọi số nguyên dương. Số nguyên nhỏ hơn 0 gọi là số nguyên âm. 2. Tính chất. . Không có số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất. Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. . Một tập con hữu hạn bất kỳ của Z luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất. . Không có số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp . Nguyên lý qui nạp Cho A là tập hợp con của Z. Nếu k e A và n e A n 1 e A Vn k thì mọi số nguyên lớn hơn hay bằng k đều thuộc A. . Nếu a b e Z a b thì a 1 b . Va e R Bn e Z ni a 3. Phép chia hết. . Định nghĩa. Cho a b là hai số nguyên bất kỳ b khác 0. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a bq thì ta nói a chia hết cho b hay a là bội của b a b hay b là ước của a b a . Định lý. thuật toán chia Cho a b là hai số nguyên bất kỳ b khác 0. Khi đó tồn tại duy nhất các số nguyên q r sao cho a bq r với 0 r b . . Các tính chất của phép chia hết. . Nếu a b thì am b với mọi số nguyên m. . Nếu a b và b c thì a c . Nếu a c và b c thì ax by c Vx y e Z ax by được gọi là tổ hợp tuyến tính của a b . Nếu a b thì a b . Nếu a b và b a thì a b . a b am bm Vme Z BÀI TẬP 1. Cho a b n là các số nguyên n 0 a b. Chứng minh a an - bn a - b b an bn a b với n lẻ c an - bn a b với n chẵn 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n a 33n 3 - 26n - 27 169 b n2 - 3n 5 không chia hết cho 121 3. 1 a Cho f x là một đa thức tùy ý với hệ số nguyên. Chứng minh rằng f a - f b a - b với mọi số nguyên a b. b Chứng minh không tồn tại đa thức p x với hệ số nguyên thỏa p 3 10 p 7 24 4. Chứng minh rằng a2 -1 2k với k nguyên a lẻ. 5. Chứng minh rằng n 1 n 2 . 211 2n với mọi số nguyên dương n 6. Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương n thỏa mãn 2n 1 n. 7. Giả sử x y z là những số tự nhiên thỏa x2 y2 z2. Chứng minh xyz 60 8. Cho x y z là các số nguyên thỏa x - y y - z z - x x y z. Chứng minh x y z chia hết cho 27. 9. Chứng .
