Nhằm giúp các bạn củng cố lại kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng làm bài tập, Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc dưới đây. Hy vọng sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới. | Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD ĐT Vĩnh Phúc SỞ GD amp ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1. xn 2 a Cho dãy số xn được xác định bởi x1 1 và xn 1 với mọi n . Chứng xn 3 minh rằng dãy số xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn đó. b Tìm tất cả các hàm số xác định liên tục trong khoảng 0 và thỏa mãn 2 x 2 x 2x 2 f x f với mọi x 0. x 3 x 3 Câu 2. a Cho số tự nhiên a 2 thỏa mãn a 1 có ước nguyên tố lẻ p. Chứng minh rằng a p2 1 p2 . b Chứng minh rằng tồn tại vô số những số tự nhiên n sao cho 2019n 1 n. Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB lần lượt tại D E F . Đường tròn A có tâm A bán kính AE cắt đoạn thẳng AH tại điểm K. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại P. Các đường thẳng DK và PK cắt đường tròn A lần lượt tại Q và T khác K . a Chứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm Q A P thẳng hàng. b Đường thẳng DK cắt đường tròn I tại điểm thứ hai là X. Chứng minh rằng ba đường thẳng AX EF TI đồng quy. c Chứng minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn I . Câu 4. Cho P x là một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức Q x với hệ số thực sao cho 2 P x P Q x với mọi x . Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức P x đều bằng nhau. Câu 5. Một tập hợp gồm 3 số nguyên dương được gọi là tập Pytago nếu 3 số này là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với hai tập Pytago P Q bất kỳ ta luôn tìm được m tập Pytago P1 P2 . Pm m 2 sao cho P1 P Pm Q và Pi Pi 1 với mọi 1 i m 1. ------------ HẾT ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh . . . Số báo danh SỞ GD amp ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Đáp án có 05 trang CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN MÔN TOÁN I. LƯU Ý .
