Trong cơ học lượng tử nhìn chỗ nào cũng thấy toán tử vì mỗi thuộc tình vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử. Vì vậy hiểu rỏ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người học cơ học lượng tử. | Các toán tử trong cơ học lương tử Lý Lê Ngày 20 tháng 7 nam 2009 Tóm tắt nội dung Hóa học lượng tử được phát triển từ cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử có thể nói nhìn chồ nào chúng ta cũng thấy toán tử vì mỗi thuộc tính vật lí được đặc trưng bởi một toán tử. Vì vậy hiểu rõ khái niệm toán tử cũng như những tính chất của toán tử là một trong những yêu cầu cơ bản nhất đối người học lượng tử. 1 Các khái niệm Toán tử Chúng ta bắt đầu bằng việc viết lại phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian cho hệ một hạt trong không gian một chiều 2 d2b x Tr . . . - 2 dx2 V x b x Eb x 1 hay _ 2 m dX2 V x b x Eb x 2 2 d2 Biểu thức trong dấu móc vuông -N- V x được gọi là toán tử . 2mdx -1 operator . Nó tác dụng lên hàm b x cho ta hàm E b x . Như vậy toán tử là một qui luật mà nhờ đó từ một hàm số cho trước ta có thể tìm được một hàm số mới. . . Af x g x 3 Trong đó A được gọi là toán tử. Hai hàm số f x và g x không nhất thiết phải khác nhau chúng có thể giống nhau. Vỉ dụ Gọi D là toán tử đạo hàm bậc nhất theo x D Ế hay D f x Ểf x f x xx 1 Nếu f x x2 3ex thì ta có Df x f0 x 2x 3ex Tương tự nếu 3 là toán tử nhân một hàm số với 3 thì ta có 3f x 3 x2 3ex 3x2 9ex Tổng của hai toán tử Tổng của hai toán tử A và B được xác định như sau A B f x Af x Bf x 4 Vỉ dụ Toán tử C được xác định bởi d C x -J-dx Tìm Cf x nếu f x a sin bx . Ta có x 4- a sin bx xa sin bx 4- a sin bx ax sin bx ab cos bx dx dx Tích của hai toán tử mx 1 1 9. Ỹ V F 4 . . X 4- 1 1. Tích của hai toán tử A và B được xác định như sau ABf x A Bf x 5 Vỉ dụ Cho C x -. Tìm Cf x nếu f x x2 3ex . Ta có dd x x2 3ex x d x2 3ex x 2x 3ex 2x2 3xex 6 Thông thường AB BA. Ví dụ xét hai toán tử D và x x. Ta có Dxf x D xf x f x xf0 x 7 Trong khi đó xDf x x Df x xf0 x 8 Chúng ta nói hai toán tử bằng nhau A B nếu Af x Bf x với mọi hàm f x . Ví dụ từ phương trình 7 ta có Dxf x f x xdf x 1 xD f x 9 Như vạy Db 1 xD 1 xD 10 Toán tử 1 nhân với 1 được gọi là toán tử đơn vị. Chúng ta thường không ghi dấu mũ lên các toán tử là .
