Hệ hai hạt − Trục quay cứng nhắc Tóm tắt nội dung Nguyên tử hydro là một trong số rất ít những hệ nhiều hạt tương tác lẫn nhau mà phương trình Schr¨dinger của nó được giải một cách o chính xác. Những kết quả thu được phù hợp với thực nghiệm là một minh chứng về sự áp dụng của cơ học lượng tử vào một hệ hóa học cụ thể. Để chuẩn bị cho việc khảo sát nguyên tử hydro và các ion giống hydro, chúng ta tìm hiểu những hệ tương tự nhưng đơn giản hơn. . | Hệ hai hạt Trục quay cứng nhắc Lý Lê Ngày 25 tháng 9 năm 2009 Tóm tắt nội dung Nguyên tử hydro là một trong số rất ít những hệ nhiều hạt tương tác lẫn nhau mà phương trình Schrodinger của nó được giải một cách chính xác. Những kết quả thu được phù hợp vói thực nghiệm là một minh chứng về sự áp dụng của cơ học lượng tử vào một hệ hóa học cụ thể. Để chuẩn bị cho việc khảo sát nguyên tử hydro và các ion giống hydro chúng ta tìm hiểu những hệ tương tự nhưng đơn giản hơn. 1 Trường xuyên tâm Khi hàm thế năng của hệ có tính đối xứng cầu nghĩa là chỉ phụ thuộc vào khoảng cách của hạt V V r thì trường thế được tạo ra là trường xuyên tâm central force . Một hạt khi chuyển động trong trường thế năng sẽ chịu một lực tác dụng là F dV dx dV jyy-dy k - VV x y z 1 Thế năng V là một hàm chỉ phụ thuộc vào bán kính r không phụ thuộc vào 0 và nên dV 1 dV L 0 V d0 r v O J r e Mặt khác ta có x r sin 0 cos y r sin 0 sin z r cos 0 r2 x2 y2 z2 Do đó dV dV dr V dx J y z dr dx y z x z í Ể ì dz x y dV dr dr dyj x z x dV r dr y dV r dr z dV r dr 1 Phương trình 1 trở thành F -1 ix jy kz r dr dV r r dr r 2 Hamiltonian của một hạt trong không gian ba chiều được viết như sau H - Ế V V r 3 với V2 là toán tử Laplacian. Trong hệ tọa độ Đê-các-tơ ta có V2 _ d2 d2 Ỡ2_ dx2 dý2 dz2 Trong hệ tọa độ cầu ta có V2 d2 I 2 d 1 d2 1 t ơ d 1 d2 dr2 r dr r2 dff2 r2 o1 d r2 sin2 ỡ d 2 Mặt khác L 2 _ cot es 1 f dơ2 dơ sin2 ỡ dtp2 Vì vậy V 2 dL 2T -dr2 rdr Từ 3 và 6 ta được H - 2m 2 Td r --L. T2 r2h2 -U L2 V r 2mr2 4 5 6 7 Khi r là hằng số ta có Ẫ d 0 dr2 dr và nếu V r 0 thì 1 2mr2 L2 H Đây chính là Hamiltonian của hạt chuyển động trên một mặt cầu. Phương trình 7 cho ta thấy mối liên hệ giữa năng lượng và mô-men góc. Câu hỏi được đặt ra là chúng ta có thể xác định đồng thời được cả năng lượng và mô-men góc hay không Để trả lời câu hỏi này chúng ta xét tính giao hoán của H với L2 và với Lz. Ta có H L2 t L2 V L2 8 2 Trước tiên ta xét II II II 1 1 - Ẵ 2 d 2 2 L2 L2 2m ơr2 r dr 2mr2 -E Ề2 2 í L2 ả L2 L2 2m ơr2 r dr 2m .
