Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính” cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, phương pháp nhân tử LU, phương pháp Cholesky, chuẩn, hệ phương trình ổn định và số điều kiện, | Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. ĐẶT BÀI TOÁN Hệ phương trình tuyến tính n pt và n ẩn có dạng Ax b với Các phương pháp giải Phương pháp giải chính xác Phương pháp Gauss Phương pháp nhân tử LU Phương pháp Cholesky Phương pháp giải gần đúng Phương pháp lặp Jacobi Phương pháp lặp Gauss-Seidel II. PHƯƠNG PHÁP GAUSS 1. Các dạng ma trận đặc biệt a. Ma trận tam giác dưới detA a11a22 . . . ann 0 aii 0 i Phương trình có nghiệm b. Ma trận tam giác trên detA a11a22 . . . ann 0 aii 0 i Phương trình có nghiệm 2. Phương pháp Gauss Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng để chuyển ma trận A về ma trân tam giác trên Các phép biến đổi sơ cấp theo dòng hoán chuyển 2 dòng nhân 1 dòng với 1 số khác 0 cộng 1 dòng với dòng khác Ví dụ Giải hệ phương trình Giải Giải pt ma trận tam giác trên ta được nghiệm x -7 3 2 2 t III. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU Phân tích ma trận A thành tích 2 ma trận L và U A LU L ma trận tam giác dưới U ma trận tam giác trên Phương trình Ax b L Ux b Ta đưa về giải 2 hệ phương trình Phương pháp Doolittle Giả sử A ma trận không suy biến và a11 0 Ta có thể phân tích A thành A LU Ma trân Δ dưới Ma trân Δ trên Các phần tử của L và U được xác định theo công thức Ví dụ Giải hệ phương trình Giải Ta phân tích Giải hệ Ly b Giải hệ Ux y IV. PHƯƠNG PHÁP CHOLESKY Phương pháp Cholesky là pp LU với A là ma trận đối xứng và xác định dương Định nghĩa Ma trân A gọi là đối xứng nếu A At Ma trân A gọi là xác định dương nếu Để kiểm tra xác định dương ta dùng đình lý sau Định lý Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó đều dương Ví dụ Kiểm tra tính xác định dương của ma trận Giải Các định thức con chính Vậy A là xác định dương Định lý Cholesky Nếu A ma trận đối xứng và xác định dương thì tồn tại ma trận Δ dưới khả đảo B sao cho A BBt Ma trận B bij tìm theo công thức sau Ví dụ Giải hệ phương trình Ax b Giải Ta có A ma trận đối xứng và xác định dương Phân tích A BBt Các hệ số
