BĐT là một vấn đề khá quan trọng của toán ngày vấn đề này càng được khai thác sâu vì đó phương pháp giải cũng rất đa dang phong phú và ngày càng phức như tất cả mọi bài toán, để giải quyết tốt thì trước hết chúng ta cần nắm vững lí thuyết và phương pháp giải bắt đầu từ cơ bản mà nâng cao dần và làm được điều đó, tất yếu chúng ta sẽ thu được kết quả tốt trong mảng này cũng như mọi vấn đề khác. . | Cauchy-Schwarz inequality. 1 kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Với hai bộ số thực bất kì a15 a2 . an và bb b2 . bn ta có bất đẳng thức 2 2 2 Z1- 2 2 2 2 ai a2 . an bi b2 . bn a1b1 a2b2 . anbn Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj ajbi với mọi i j. Ta hãy nhìn bất đẳng thức trên dưới dạng khác như sau Với hai bộ số thực bất kì ai5 a2 . an và bb b2 . bn thoả mãn bi dương ta có a2 a2 a a . a 2 1 I 2 Ị I n 1 2 n 2 b b b 1 2 . bn Đẳng thức cũng chỉ xảy ra khi và chỉ khi aibj ajbi với mọi i j. Để sử dụng thật tốt bất đẳng thức này các bạn phải có cái nhìn hai chiều với bất đẳng thức trên. Nói chung thì bất đẳng trên ứng dụng giải toán nhiều hơn hay dễ sử dụng hơn bất đẳng thức dạng chính tắc. Bây giờ ta đi vào xét các ví dụ để thấy được sức mạnh của bất đẳng thức cauchy-schwarz. Cauchy-Schwarz inequality. 2 Ví dụ 1. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến. a b c là các số dương. Chứng minh rằng a b c 3 ---------------------------1------1---- 2 b c c a a b 2 Lời giải. Lời giải bài toán trên rất đơn giản. Sử dụng bất đẳng Cauchy-Schwarz ta được. a b c _ a2 b2 c a b c 2 3ub bc ca _ 3 b c c a a b ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ca 2 ab bc ca 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Ví dụ 2. a b c là các số dương tuỳ ý. Chứng minh bất đẳng thức bc ca ab a b c --------1----------1-------- -------- b c 2a c a 2b a b 2c 4 Lời giải. Ta sử dụng nhận xét sau để giải bài toán trên bc b c 2a bc 4 4 a b a c bc 1 1 . 1 . bc bc . 7 7 7 7 4 a b a c 4 a b a c Từ đánh giá trên ta được bc ca ab --------1------- H------- b c 2a c a 2b a b 2c 1 ac bc a b c . A 7 -7 ------------- 4 a b c a b a b 4 Đây là điều phải chưúng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Lời giải trên thật thú vị phải không các bạn điều đáng chú ý trong cách giải trên là việc phát hiện hằng đẳng thức sau z ab ac x . A a b c Obe a b a b Cố gắng tạo ra các đẳng thức bằng cách tách nhóm thích hợp ta sẽ có được những lời giải đẹp. Kĩ thuật
