Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Khả vi và vi phân, đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn, công thức Taylor – Maclaurint, cực trị hàm nhiều biến (Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN - GTNN trong miền đóng). Mời các bạn cùng tham khảo. | Bài giảng Giải tích 2 - Chương 1 Đạo hàm và vi phân Phần 2 3 Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1 d 2f d df d fx dx fy dy d fx dx d fy dy d fx dx fx d dx d fy dy fy d dy 2 2 fxx dx 2fxy dxdy fyy dy Hay ta viết dưới dạng 2 2 2 2 f 2 f f 2 d f 2 dx 2 dxdy 2 dy x x y y Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 æ ö æ ö df çç dx dy f 2 d f çç dx dy f çè x y ø çè x y ø 3 Khả vi và Vi phân Tổng quát công thức trên cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3 của hàm 2 biến Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f x y 3 æ ö 3 d f çç dx dy f çè x y ø 3 2 2 3 fxxx dx 3fxxy dx dy 3fxyy dxdy fyyy dy Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f x y z 2 æ ö d f x y z çç dx dy dz 2 f çè x y z ø fxx dx2 fyy dy 2 fzz dz2 2fxy dxdy 2fyz dydz 2fzx dzdx 3 Khả vi và Vi phân Ví dụ Cho hàm f x y xsiny 2ycosx. Tính df d2f tại 0 π 2 Giải Ta đi tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 thay vào công thức tính vi phân f x sin y 2 y sin x f y x co s y - 2 co s x fxx 2y cos x fxy cos y 2sin x fyy - x sin y Vậy ta được df 0 p fx 0 p dx fy 0 p dy dx - 2dy 2 2 2 2 p p 2 p p d f 0 fxx 0 dx 2fxy 0 dxdy fyy 0 dx2 2 2 2 2 Vậy df 0 p 2 dx - 2dy và d 2f 0 p p dx 2 2 3 Khả vi và Vi phân Ví dụ Cho hàm f x y z xy2 2yz2 ex y z. Tính df d2f Giải Tương tự ví dụ trên ta có df fx dx fy dy fz dz df y2 ex y z dx 2xy 2z2 ex y z dy -4yz ex y z dz d 2f fxx dx 2 fyy dy 2 fzz dz2 2fxy dxdy 2fyz dydz 2fzx dzdx d2f ex y zdx2 2x ex y z dy2 -4y ex y z dz2 2 2y ex y z dxdy 2 -4z ex y z dydz 2 ex y z dzdx 4 Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp Định lý Cho hàm z z x y khả vi trong miền D x y là các hàm theo biến t x x t y y t khả vi trong khoảng t1 t2 khi ấy hàm hợp z z x t y t cũng khả vi trong khoảng t1 t2 và dz z dx z dy dt x dt y dt dz Ví dụ Cho hàm z x2-3xy x 2t 1 y t2-3. Tính dt Giải dz z dx z dy 2x 3y 2 -3x 2t dt x dt y dt 4 Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Tổng quát hơn Cho z z x y và x x u v y y u v tức là z là hàm hợp của 2 biến u v. Ta có công thức tương tự z z x z y u x u y u z z x z y v x v y v z z z x y
