Tham khảo tài liệu 'một số bài toán về bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a b c ta có a b c 3 - - b c c a a b 2 Giải Xét các biểu thức sau a b c S b c c a a b b c a c a b A B b c c a a b c b c a a b Ta có A B 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì . a b b c c a _ S A - - 3 b c c a a b . a b b c c a S A 3 b c c a a b Cộng theo vế ta có 3 A B 2S 3 S 2 Điều phải chứng minh Bài 2 Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a b c d ta có a b c d -- - 2 b c c d d a a b Giải Đặt a b c d S i r b c c d d a a b . b c a a c d a b A B - b c c d d a a b b c c d d a a b Theo bất đẳng thức Cauchy thì 1 a b b c c d d C . S B 4 b c c d d a a b . a c b d c a d b S A - -7 b c c d d a a b a c c a b d d b ---I --I------ - b c d a c d a b 4 a c Ị 4 b d 4 a b c d a b c d Cộng theo vế ta có A B 2S 8 mà A B 4 vậy S 4 Điều phải chứng minh Bài 3 Cho x y z 0 và xyz 1 chứng minh rằng 3 .3 _3 o x . y z 3 - - - - 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 4 Ta có x3 1 y 1 z x - - 3- 1 y 1 z 8 8 4 Tương tự ta có y3 .1 x 1 z y -- ---- 34 1 z 1 x 8 8 4 z3 .1 x 1 y z - ---------- - - 3 1 x 1 y 8 8 4 Cộng theo vế rồi rút gọn ta có 3 .3 _3 0 x y z 3 - - -- 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 4 x y z . 33x 2 3 2 2 -2 3 3 _3 n x y z 3 vậy 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 4 2 Bài 4 Cho a b c d 0 và ab bc cd da 1 chứng minh rằng a3 b3 c3 d3 1 111 b c d c d a a b d a b c 3 Ta có a b c d 2 a c b d 2 4 a c b d 4 ab bc cd da 4 a b c d 2 a b c d 0 a3 b c d a 1 2a 1 --1 _ b c d-------------------8-6 12 3 Tương tự ta có b3 a c d b 1 2b .---- ----- - c d a 8 6 12 3 c3 a b d c 1 2c -------- --------I--I--- a b d 8 6 12 3 d3 a b c d 1 2d -----------1------- - z _ a b c------------8-6 12 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có a3 b3 c3 d3 a b c d 12 1 1 ---------1--------1----------------1 b c d c d a a b d a b c-----------------3 3-3 3-3 a3 b3 c3 d3 1 vây ------7 ---- -------------1-- -7 - - 77 y b c d c d a a b d a b c 3 Bài 5 Cho a b c 0 chứng minh rằng 1 Ị 1 Ị 1 27 a a b b b c c a c 2 a b c 2 1 Giải VT 1 abc a b b c c a 3abc 3 a b b c c a 1 3
