Tài liệu trình bày một số bài toán cơ bản nguyên hàm tích phân từng phần giúp các em học sinh có thêm tư liệu phục vụ công tác học tập môn Toán. Mời các em cùng tham khảo. | Chương 7 Nguyên hàm tích phân từng phần Tại sao Nguyên hàm Tích phân lại khó CHƯƠNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 7 TỪNG PHẦN Kỹ thuật từng phần là một kỹ thuât khá cơ bản nhưng rất hiệu quả trong các bài toán tính tích phân ở trong phần này ta sẽ không nhắc lại các bài toán cơ bản nữa mà chỉ đề cập tới một số bài toán nâng cao trong phần này. Trước tiên ta sẽ đi nhắc lại và chứng minh công thức tính nguyên hàm tích phân từng phần. Giả sử u x v x là các hàm liên tục trên miền D khi đó ta có d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu udv uv vdu Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và nguyên hàm vdu dễ tính hơn udv . Ngoài ra ta còn chú ý tới thứ tự đặt Nhất Log Nhì Đa Tam ln x Lượng Tứ - Mũ . Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn u ln hay u log a x và ln a dv còn lại. Nếu không có ln log thì chọn u đa thức và dv còn lại Nếu kh ng c log đa thức ta chọn u lượng giác cuối cùng là mũ Ta thường gặp các dạng sau với P x là đa thức Dạng sin x sin x x I P x dx I P x e ax bdx I P x ln mx n dx I e dx đặt cos x cos x sin x u P x P x ln mx n cos x sin x dv cos x dx dv e ax bdx P x dx e xdx - Lư n c c a đa thức c c a n tư n ứn i n ấ n nh m TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC - Dạn mũ nh n ượn i c ạn n n h m t n ph n nh i MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài toán 1. Tìm các họ nguyên hàm sau đây x 2 e dx 2x 1 cos x dx 2x a b c 3x 1 ln x dx 2 d 4x 1 ln x 1 dx Lời giải 1 Chinh phục olympic toán Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Kim Anh Nguyễn Quang Phát du dx u x 2 a Xét x 2 e dx . Đặt 2x 1 2x dv e dx v e 2x 2 1 1 1 1 Khi đ x 2 e 2xdx x 2 e 2x e 2xdx x 2 e 2x e 2x C 2 2 2 4 1 Vậy x 2 e 2 xdx 2x 3 e2 x C . 4 u 2x 1 du 2dx b Xét 2x 1 cos x dx . Đặt dv cos xdx v sin x Khi đ 2x 1 cos x dx 2x 1 sin x 2 sin x dx 2x 1 sin x 2 cos x C 1 x 2 e dx 2x 3 e2 x C 2x Vậy 4 u ln x 1 du dx c Xét 3x 1 ln x dx . Đặt 2 x dv 3x 1 dx v x 3 x 2 1 3x 1 ln xdx x 3 x ln x x 2 1 dx x 3 x ln x x 3 x C . 2 Khi đ 3 u ln x 1 1 du dx d Xét 4x 1 ln x 1 dx . Đặt x 1 dv 4x 1 dx v 2x 2 x 2x2 x 4x 1 ln x 1 dx 2x x ln x 1 2
