Tài liệu tham khảo về hệ phương trình | THÁNG 08 - KIM CHUNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 0 I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HOÁN VỊ VÒNG QUANH. Bài 1. Đề thi HSG quốc gia năm 1994 Giải hệ phương trình x 3x 3 In x x 1 y y3 3y 3 In y2 y 1 z z3 3z 3 In z2 z 1 x Giải Xét hàm số f t t3 3t - 3 In t2 -t 1 2t2 -1 Ta có f t 3t2 1 4 -- 0 Vx e R v t2 t 1 Vậy hàm số f t đồng biêh trên R. Ta viết lại hệ phương trình như sau IÉy f z x Không mất tính tổng quát giả sử x min x y z . Lúc đó x y f x f y y z f y f z z x. Hay x y z x x y z Với x y z xét phương trình x3 2 x 3 In x2 x 1 0 Do hàm số cp x x3 2x 3 In x2 x 1 đồng biên trên R nên pt có nghiệm duy nhất x 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y z 1. Bài toán tổng quát 1 . Xét hệ phương trình cố dạng f x1 g x2 f x2 g x3 . f xn 1 g xn f xn g x1 Nếu hai hám số f vá g cùng tăng trên tập A vá x1 x2. xn là. nghiệm của hệ phương trình trong đố xt e A Vi 1 2 . n thì x1 x2 . xn. Chứng minh Không mất tính tổng quát giả sử x1 min x1 x2. xn . Lúc đó ta có x1 x2 f x1 f x2 g x2 g x3 x2 x3. xn x1. Vậy x1 x2 . xn x1 Từ đó suy ra x1 x2 . xn. 1 Jgí Bài 2. Giải hệ phương trình X 2x3 x2 4 J 1 Ỹy3 y2 1 X 2z3 z2 4 Giải y z Xét hàm số Vì vế trái của các phương trình trong hệ đều dương nên hệ chỉ có nghiệm X y z 0. 2r3 r2 z x2r3 r2 tacó f í - 21n4 3í2 Ạ ị 0 Ví 0. Vậy hàm số f ộ nghịch biêh trên khoảng 0 00 . Không mất tính tổng quát giả sử X min x y z . Lúc đó x y l x f y í y z f y f z z X X z r x f z y x. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất X y z . Jgỉ Bài toán tổng quát 2 . Xé hệ phương trình có dạng với n lẻ f x1 g x2 f x2 g x3 f Vi g f g v Nếu hàm số f giảm trên tập A g tăng trên A và x1 x2. xn là nghiêm của hệ phương trình trong đó Xị G A i 1 2 . thì xl x2 . xn với n lẻ . Chứng minh Không mất tính tổng quát giả sử Xj min xl x2. xn . Lúc đó ta có f - f v V - L Xj x2 Từ đó suy ra Xx x2 . x . jeí Bài 3. Giải hệ phương trình x-1 2 2y y-1 2 2z z-l 2 2t í-1 2 2x 2 Giải Vì vế trái của các phương trình trong hệ không âm nên phương chỉ có nghiệm x y z t 0 . Xét hàm số f 5 5 -1 2 ta có f 5 2 5 -1
