Bài giảng Đại số 10 - Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức với các nội dung khái niệm và tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức Cauchy. | Bài giảng Đại số 10 - Bài 1 Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU MÔN TOÁN LỚP 10 Giáo viên Đỗ Thị Bích Thủy 1. Khái niệm và tính chất của bất đẳng thức. a Khái niệm bất đẳng thức. Giả sử a b là hai số thực. Các mệnh đề a gt b a lt b a b a b được gọi là bất đẳng thức. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng. b Tính chất của bất đẳng thức. Tính chất bắc cầu a gt b và b gt c a gt c. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số a gt b a c gt b c c. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số a gt b ac gt bc c gt 0. a gt b ac lt bc c lt 0. Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều a gt b và c gt d a c gt b d Chuyển vế a c gt b a gt b c Nhân vế với vế của hai bđt dương cùng chiều a gt b 0 và c gt d 0 ac gt bd. Lũy thừa bậc chẵn hai vế của bất đẳng thức a 0 b 0 và n ta có a gt b a2n gt b2n Khai căn hai vế của bất đẳng thức a gt b 0 a gt b a gt b 3 a gt 3 b Ví dụ 1 Chứng minh với mọi x ta có x2 gt 2 x 1 Ví dụ 2 Chứng minh nếu a b c là độ dài ba cạnh của tam giác thì b c a c a b a b c abc 2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. Với mọi a ta có a a a Với a gt 0 ta có x lt a a lt x lt a Với a gt 0 ta có x gt a x lt a x gt a Với a b ta có a b a b a b Ví dụ 3 Cho x y chứng minh 3 x y y 8 x 5 Giải. 3 x y y 8 x 3 x y y 8 x 3 x y x 8 y 3 x y x 8 y 5 5 3. Bất đẳng thức Cauchy. Cho a 0 và b 0 ta có a b ab 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b. Phát bi Hãy ch ểứu b ng minh ằng lời bất đẳng thức trên. Ví dụ 4 Cho a b c là ba số dương bất kỳ chứng minh a b b c c a 6 c a b Giải. a b b c c a a b b c c a c a b c c a a b b a b b c a c b a c b c a a b b c a c 2 . 2 . 2 . 6 b a c b c a 3. Bất đẳng thức Cauchy. Hệ quả Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ .
