"Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 4: Cây và cây khung của đồ thị" với các nội dung định nghĩa và các tính chất cơ bản, cây khung và bài toán tìm cây khung nhỏ nhất, thuật toán Kruskal, thuật toán Prim, cây có gốc. | CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định nghĩa Cây là một đồ thị vô hướng liên thông không chứa chu trình và có ít nhất hai đỉnh. Một đồ thị vô hướng không chứa chu trình và có ít nhất hai đỉnh gọi là một rừng. Trong một rừng mỗi thành phần liên thông là một cây. 67 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản Định lý Cho T là một đồ thị có n 2 đỉnh. Các điều sau là tương đương 1 T là một cây. 2 T liên thông và có n 1 cạnh. 3 T không chứa chu trình và có n 1 cạnh. 4 T liên thông và mỗi cạnh là cầu. 5 Giữa hai đỉnh phân biệt bất kỳ của T luôn có duy nhất một đường đi đơn. 6 T không chứa chu trình nhưng khi thêm một cạnh mới thì có được một chu trình duy nhất. 68 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 2. Cây khung và bài toán tìm cây khung nhỏ nhất Định nghĩa Trong đồ thị liên thông G nếu ta loại bỏ cạnh nằm trên chu trình nào đó thì ta sẽ được đồ thị vẫn là liên thông. Nếu cứ loại bỏ các cạnh ở các chu trình khác cho đến khi nào đồ thị không còn chu trình vẫn liên thông thì ta thu được một cây nối các đỉnh của G. Cây đó gọi là cây khung hay cây bao trùm của đồ thị G. 69 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 2. Cây khung và bài toán tìm cây khung nhỏ nhất Bài toán được phát biểu như sau This image cann ot cur rently b e displayed. Cho G V E là đồ thị vô hướng liên thông có trọng số mỗi cạnh e E có trọng số m e 0. Giả sử T VT ET là cây khung của đồ thị G VT V . Ta gọi độ dài m T của cây khung T là tổng trọng số của các cạnh của nó m T m e e ET 70 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 2. Cây khung và bài toán tìm cây khung nhỏ nhất Bài toán đặt ra là trong số tất cả các cây khung của đồ thị G hãy tìm cây khung có độ dài nhỏ nhất. Cây khung như vậy được gọi là cây khung nhỏ nhất của đồ thị. Bài toán được gọi là bài toán tìm cây khung nhỏ nhất . Hai mô hình thực tế tiêu biểu Bài toán xây dựng hệ thống đường sắt. Bài toán nối mạng máy tính. 71 CHƯƠNG IV CÂY VÀ CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 3. Thuật toán Kruskal
