Bài viết so sánh cấu trúc hai lớp vành PF phải và co-H phải, cả hai lớp vành này đều là mở rộng của lớp vành QF. Ý tưởng nảy sinh từ sự so sánh đó, Bài viết chứng minh được “Một vành R là QF nếu và chỉ nếu R là co-H phải và thỏa mãn Sr | TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4 2013 5 SO SÁNH CẤU TRÚC CÁC LỚP VÀNH CO-H VÀ PF Lê Đức Thoang Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi so sánh cấu trúc hai lớp vành PF phải và co-H phải cả hai lớp vành này đều là mở rộng của lớp vành QF. Ý tưởng nảy sinh từ sự so sánh đó chúng tôi chứng minh được Một vành R là QF nếu và chỉ nếu R là co-H phải và thỏa mãn S r Sl hoặc Sl S r nếu và chỉ nếu R là co-H phải và Kasch phải hoặc trái . Từ khóa vành co-H vành PF vành QF. 1. Giới thiệu Năm 1939 Nakayama đã giới thiệu lớp vành quasi-Frobenius gọi tắt là vành QF đó là lớp vành Artin hai phía và mỗi idean một phía đều là idean linh hóa tử hữu hạn sinh. Từ đó đến nay nhiều tác giả đã nghiên cứu vành QF và các mở rộng của nó. Có hai mở rộng đẹp được nhiều tác giả quan tâm đó là vành PF phải và vành co- H phải. Trong bài viết này chúng tôi so sánh hai lớp vành PF phải và co-H phải. Từ sự so sánh đó chúng tôi dự đoán và chứng minh được kết quả khá thú vị thể hiện trong Định lý . Chúng ta luôn giả thiết vành R đã cho là vành kết hợp có đơn vị 1 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Môđun con N M được gọi là cốt yếu nếu với mọi A M N A 0 thì phải có A 0 kí hiệu N e M N được gọi là một hạng tử trực tiếp của M kí hiệu N M nếu có môđun con A M thỏa mãn A N 0 A N M . Môđun M được gọi là CS môđun nếu mọi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Với vành R ta kí hiệu J R hoặc J để chỉ căn Jacobson Sr lS tương ứng để chỉ đế phải trái tương ứng môđun con suy biến phải trái tương ứng được kí hiệu là Z RR Z R R tương ứng . Những khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến bài viết chúng ta có thể tham khảo trong 1 và 3 . Trước hết chúng ta nhắc lại một số định nghĩa quan trọng. Định nghĩa . Vành R là PF phải nếu và chỉ nếu R là vành nửa hoàn chỉnh tự nội xạ phải và có đế cốt yếu. Định nghĩa . Vành R là co-H phải nếu và chỉ nếu R là vành Artin phải và thỏa mãn mọi R-môđun phải không đối bé đều chứa một hạng tử trực tiếp xạ ảnh. Định nghĩa . Vành R là QF nếu và chỉ nếu R là
