Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 được biên soạn bởi Trường THPT Nguyễn Trãi có kèm theo đáp án giúp các em học sinh tự rèn luyện, nâng cao kiến thức ngay tại nhà. | SỞ GD amp ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN TOÁN 12 Ngày 7 tháng 9 năm 2019 Thời gian làm bài 180 Phút x 3 y 3 3 y 2 3x 2 Câu 1. 1 5 điểm Giải hệ phương trình x 2 1 x 2 3 2 y y 2 2 Câu 2. 2 0 điểm Cho dãy số an thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3an 1 an và 6an 1 an 1 5an n 2 n . Chứng minh rằng dãy an có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 3. 2 0 điểm Cho các số thực dương x y z thỏa mãn xy yz zx 2 xyz 1 . Chứng minh rằng x2 y 2 z 2 10 xyz 2 . Câu 4. 1 5 điểm Cho dãy số nguyên an thỏa mãn với mọi p nguyên tố và k nguyên dương thì a pk 1 pak 3a p 13 . Tính a2019 Câu 5. 2 0 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Một đường tròn K qua B và C cắt các đoạn thẳng CA và AB lần lượt tại E và F. Gọi BE cắt CF tại H. M là trung điểm BC và tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt nhau tại I. Gọi S là hình chiếu của A trên IH và D là giao của IH với BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SMD tiếp xúc với đường tròn O . Câu 6. 1 0 điểm Điền vào mỗi ô của bảng vuông 7 7 các số tự 2 3 4 5 6 7 1 nhiên từ 1 đến 49 như hình vẽ. Mỗi lần được phép 8 9 10 11 12 13 14 chọn 1 ô của bảng và đồng thời tăng số trong ô đó 16 17 18 19 21 thêm 1 rồi giảm mỗi số trong hai ô nào đó kề với nó đi 15 20 1 hoặc giảm số trong ô đó đi 1 và tăng mỗi số trong 22 23 24 25 26 27 28 hai ô kề với nó thêm 1 hai ô kề nhau là hai ô chung 29 30 31 32 33 34 35 cạnh . Hỏi có thể đưa tất cả các số trong bảng về bằng 36 37 38 39 40 41 42 nhau sau một số hữu hạn bước được hay không 43 44 45 46 47 48 49 Tải tài liệu miễn phí https ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020 x 3 y 3 3 y 2 3x 2 Câu 1. 1 5 điểm Giải hệ phương trình x 2 1 x 2 3 2 y y 2 2 Lời giải Điều kiện x2 1 2 y y 2 1 y 1 2 0 y 1 2 1 Ta có 1 x3 3x y3 3 y 2 2 x3 3x y 1 3 3 y 1 Xét f x x3 3x thì f x 3x2 3 0 x 1 1 và f x 0 x 1 Suy ra f x đồng biến trên 1 1 Mà x y 1 1 1 nên f x f y 1 x y 1 Thay vào phương trình 2 ta được .
