Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 – Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc (Đề chính thức) được biên soạn có kèm theo hướng dẫn giải giúp học sinh tự rèn luyện, nâng cao kiến thức ngay tại nhà. | SỞ GD amp ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề Câu 1. xn 2 a Cho dãy số xn được xác định bởi x1 1 và xn 1 với mọi n . Chứng xn 3 minh rằng dãy số xn có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn đó. b Tìm tất cả các hàm số xác định liên tục trong khoảng 0 và thỏa mãn 2 x 2 x 2x 2 f x f với mọi x 0. x 3 x 3 Câu 2. a Cho số tự nhiên a 2 thỏa mãn a 1 có ước nguyên tố lẻ p. Chứng minh rằng a p2 1 p2 . b Chứng minh rằng tồn tại vô số những số tự nhiên n sao cho 2019n 1 n. Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Đường tròn nội tiếp I của tam giác AL ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB lần lượt tại D E F . Đường tròn A có tâm A bán kính AE cắt đoạn thẳng AH tại điểm K. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại P. Các N đường thẳng DK và PK cắt đường tròn A lần lượt tại Q và T khác K . FI a Chứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm Q A P thẳng hàng. b Đường thẳng DK cắt đường tròn I tại điểm thứ hai là X. Chứng minh rằng ba đường thẳng AX EF TI đồng quy. c Chứng minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn I . Câu 4. Cho P x là một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức Q x với hệ số thực sao cho 2 P x P Q x với mọi x . Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức P x đều bằng nhau. Câu 5. Một tập hợp gồm 3 số nguyên dương được gọi là tập Pytago nếu 3 số này là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với hai tập Pytago P Q bất kỳ ta luôn tìm được m tập Pytago P1 P2 . Pm m 2 sao cho P1 P Pm Q và Pi Pi 1 với mọi 1 i m 1. ------------ HẾT ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh . . . Số báo danh SỞ GD amp ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Đáp án có 05 trang CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN MÔN TOÁN I. LƯU Ý CHUNG - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách
