Đề thi chọn học sinh giỏi vào đội tuyển quốc gia môn Toán lớp 12 năm học 2020-2021 - Sở Giáo dục và Đào tạo Khánh Hòa (Đề chính thức) với mục tiêu cung cấp cho các em học sinh tư liệu phục vụ ôn luyện, chuẩn bị chu đáo cho kì thi. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN KHÁNH HÒA THI HSG THPT CẤP QUỐC GIA NĂM 2020 Môn thi TOÁN Vòng 1 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi 19 9 2019 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát đề Bài 1. 4 0 điểm 3 3 x 4x 2 y 4 4 6 2 y 3 Giải hệ phương trình y 3 4 y 2 4 6 2 z x y z . z 4 3 3 z 4z 2 x 4 4 6 2x Bài 2. 6 0 điểm a Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương a b 1 sao cho n a b 1 a b 2 a. 2 1 b Cho dãy số un xác định bởi u1 5 un 1 un với mọi n 1. un Tìm phần nguyên của u209 . Bài 3. 4 0 điểm Một nhóm phượt có n thành viên. Năm 2018 họ thực hiện sáu chuyến du lịch mà mỗi chuyến có đúng 5 thành viên tham gia. Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau không quá 2 thành viên. Tìm giá trị nhỏ nhất của n. Bài 4. 4 0 điểm Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Qua điểm N thuộc đoạn thẳng AD N không trùng với A và D kẻ NP vuông góc với AB P thuộc cạnh AB . Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt đoạn thẳng AM tại Q. Chứng minh rằng QN vuông góc với BC. Bài 5. 2 0 điểm Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx xyz x y z . 1 1 1 Chứng minh rằng 1. 2x 1 2 y 1 2z 1 --------------- HẾT --------------- Tải tài liệu miễn phí https SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HOÀ GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2019 2020 MÔN THI TOÁN ngày 1 Thời gian 180 phút Không kể thời gian phát đề ĐÈ CHÍNH THỨC 3 3 x 4x 2 y 4 4 6 2 y 3 Bài 1. 3 điểm Giải hệ phương trình y 3 4 y 2 4 6 2z . z 4 3 3 z 4z 2 x 4 4 6 2x Lời giải x 3 Điều kiện y 3 . z 3 3 Xét hàm f t t 3 4t 2 và g t 4 6 2t trên 3 . t 4 f x g y 1 Hệ phương trình trở thành f y g z 2 f z g x 3 Ta có f t 3t 2 4 gt 0 t 3 Hàm số f t t 3 4t 2 đồng biến trên 3 . 3 4 3 g t lt 0 t 3 g t 4 6 2t nghịch biến trên t 4 t 4 2 6 2t 3 . Không mất tính tổng quát ta giả sử x max x y z . Khi đó ta có x y x z . x y f x f y vì hàm f t đồng biến kết hợp với hệ phương trình g y g z vì hàm g t nghịch biến kết
