Tuyển tập Đề thi Olympic toán Hùng Vương nhằm giúp các bạn ôn thi Olympic toán, các bạn có thể đào sâu kiến thức của mình về toán học. Tai liệu mang tính chất tham khảo | HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG Các đề thi Olympic Toán Hùng Vương Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1 Nam 2005 Thời gian làm bài 210 phút Câu 1. Các số nguyên dương a1 a2 a3 a4 a5 lập thành một cấp số cộng tăng. Hỏi lập được bao nhiêu cấp số cộng thoả mãn điều kiện a1 50 và a5 100 Câu 2. Các số nguyên dương a1 a2 a3 a4 a5 lập thành một cấp số nhân tăng. Hỏi lập được bao nhiêu cấp số nhân thoả mãn điều kiện a5 100 1 . Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2 Năm 2006 2 Câu 3. Các số dương ai a2 a3 a4 a5 thoả mãn các điều kiện i 2ai 2a2 2a3 2a4 2a5 là các số nguyên dương ii ai a2 a3 a4 a5 99. Tìm giá trị lớn nhất của tích P a1 a2a3a4a5. Câu 4. Giả sử tam thức bậc hai f x luôn luôn dương với mọi x. Chứng minh rằng f x viết được dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất. Câu 5. Giả sử hàm trùng phương g x x4 bx2 c luôn luôn dương với mọi x. Chứng minh rằng g x viết được dưới dạng tổng bình phương của hai tam thức bậc hai. Câu 6. Cho hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích các điểm M thuộc hình vuông phần bên trong và biên của hình vuông sao cho diện tích các tam giác MAB và MAC bằng nhau. Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Giả sử E là trung điểm cạnh CD và F là một điểm ở bên trong hình vuông. Xác định vị trí điểm Q thuộc cạnh AB sao cho E BQF. Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2 Nam 2006 Thời gian làm bài 180 phút Câu 1. Số đo các góc trong của một ngũ giác lồi có tỷ lệ 2 3 3 5 5. Số đo của góc nhỏ nhất bằng A 200 B 400 C 600 D 800 E 900. . Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 Năm 2007 3 Câu 2. Cho a 0. Giải hệ phương trình x2005 y2005 z2005 a2005 x2006 y2006 2006 _ a2006 x2007 y2007 2007 _ 0 2007 Câu 3. Xác định bộ số dương a b c sao cho ax9y12 by9z9 cz11x8 15x4y8z7 8x 0 y 0 z 0. Câu 4. Cho tam giác ABC và điểm M thuộc BC. Xét hình bình hành APMN trong đó P thuộc AB và N thuộc AC và hình bình hành ABDC với đường chéo AD và BC. O là giao điem của BN và CP. Chứng minh rằng PMO NMO khi và chỉ khi BDM cDDM. Câu 5. Cho số dương M. Xét các tam thức bậc .
