Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2013-2014 biên soạn bởi Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam với mục tiêu hỗ trợ giáo viên trong quá trình biên soạn đề thi, bài tập đánh giá năng lực của học. | SỞ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013 2014 GIÁO DỤC amp ĐÀO TẠO Ngày thi 02 10 2013 QUẢNG NAM Môn thi TOÁN Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề Câu 1 5 0 điểm . 3x 2 x 1 2x 2 x 3 a Giải phương trình . 8 8 x 3 3x 2 13x 15 3 y y x y ﾡ y 2 4 5y 2 x 2 2x 2 b Giải hệ phương trình . Câu 2 4 0 điểm . 2014 u1 2013 2u n 1 u n2 2u n n ﾡ a Cho dãy số un xác định bởi 1 1 1 Sn . u1 2 u 2 2 un 2 Đặt . Tính limSn . ﾡ b Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên thỏa mãn ﾡ f 3x y 3f x f y x y trong đó là số thực cho trước. Câu 3 5 0 điểm . a Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b c với ha hb hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ A B C . b Cho tam giác ABC có hai đỉnh B C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua G. Tìm tập hợp các điểm A biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC. Câu 4 3 0 điểm . a Tìm tất cả các số nguyên dương a b c sao cho a 2b c và a3 8b3 c2 . b Cho đa thức f x có bậc n gt 1 có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện f a b với a b là hai số nguyên cho trước a b khác 0 . Chứng minh rằng f a chia hết cho b và f b chia hết cho a. Câu 5 3 0 điểm . Cho ba số thực dương a b c thỏa mãn 8. ﾡ Chứng minh rằng với mọi k ta có k k k a2 b2 c2 3 2k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 a b a 2 b2 a 4 b 4 . a 2 b2 b c b 2 c 2 b 4 c 4 . b 2 c2 c a c2 a 2 c4 a 4 . c2 a2 . Hết 2 SỞ GIÁO DỤC amp ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT Câu 1. Câu 2. 2 3x 2 x 1 2x x 3 2014 u1 2u n 1 u n2 2u n n N a Giải PT 1 2013 a 2 Với mọi k N ta có x 3 5 1 uk 1 2 Điều kiện . Khi đó u k 2 u k u k 2 u k u k u k 2 2x 3 2x 3 x 1 3x 2 x 1 1 2 1 1 1 u k 2u k 1 u k u k 1 2x 3 0 2 5 1 x 1 3 3x 2 x 1 3 2 x 3 2 thỏa Sn 1 u1 1 u n 1 12 5 x 3x 2 3 x 1 .
