Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên với mục tiêu hỗ trợ các em học sinh ôn luyện, luyện thi dễ dàng và hiệu quả hơn vượt qua kì thi gặt hái nhiều thành công. | ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2018-2019 THỜI GIAN 180 PHÚT Bài 1 4 điểm . Cho hàm số y x3 3 x 2 4 có đồ thị C đường thẳng d đi qua A 1 2 và có hệ số góc m . Tìm m để d cắt C tại ba điểm phân biệt A B C sao cho BC 4 2 . Bài 2 4 điểm . Giải phương trình x3 7 x 2 9 x 12 x 3 x 2 5 x 3 x 3 1 Bài 3 4 điểm . u1 2 Cho dãy số un n 1 thỏa mãn . u1 u2 . un 1 un n un n 1 2 Tìm giới hạn lim n 2un . Bài 4 4 điểm . Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI 3IH và góc giữa hai mặt phẳng SAB SBC bằng 60ο . Tính thể tích khối chóp S . ABC đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB SI theo a . 8 Bài 5 4 điểm . Cho các số thực dương x y thỏa mãn điều kiện x 2 2 y 2 . Tìm giá trị lớn nhất 3 của biểu thức P 7 x 2 y 4 x 2 2 xy 8 y 2 . HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 4 điểm . Cho hàm số y x3 3 x 2 4 có đồ thị C đường thẳng d đi qua A 1 2 và có hệ số góc m . Tìm m để d cắt C tại ba điểm phân biệt A B C sao cho BC 4 2 . Lời giải Phương trình đường thẳng d y m x 1 2 Phương trình hoành độ giao điểm x3 3 x 2 4 m x 1 2 x3 3 x 2 mx m 2 0 x 1 x 1 x 2 2 x m 2 0 g x x 2 2 x m 2 0 Giả sử g x 0 có hai nghiệm x1 x2 khi đó B x1 m x1 1 2 C x2 m x2 1 2 BC 2 m 2 1 x1 x2 m 2 1 x1 x2 4 x1 x2 2 2 m 2 1 4 4m 8 32 m 1 Thay m 1 vào g x x 2 2 x 3 0 x 1 x 3 thỏa mãn . Vậy m 1 . Bài 2 4 điểm . Giải phương trình x3 7 x 2 9 x 12 x 3 x 2 5 x 3 x 3 1 Lời giải Điều kiện x 3 0 x 3. Phương trình đã cho tương đương với x 4 x 2 3x 3 x 3 x 2 5 x 3 x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 2 3 x 3 x 3 x 2 5 x 3 x 3 1 x 3 1 0 x 3 1 x 4 2 . x 3x 3 x 3 1 x 3 x 2 5 x 3 Dễ thấy x 3 không là nghiệm của phương trình đã cho. x 2 3x 3 x 2 5 x 3 Với x gt 3 giải phương trình ta được x 3 x 3 1 2 x 4 5 x 4 1 x 3 5 x 3 1 x 4 1 x 3 1 f x 4 f x 3 . t 2 5t 1 3 Xét hàm số f t trên 1 có f t 1 2 gt 0 t gt 1. t 1 t 1 Suy ra f t là hàm số đồng biến trên f t mà f x 4 f x 3 x 4 0 x 4 9 5 Do đó x 4 x 3 2 2 x . x 4 x 3 x 9 x 19 0 2 9 5 Vậy .
