Cho f(x) là một đa thức trên vành giao hoán bài viết này nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của f (x) khi xem xét nó trên các vành mở rộng của A. Trong trường hợp hệ tử cao nhất của f (x) là 1, chúng tôi đã xây dựng được một vành B A ⊇ sao cho f (x) có nghiệm trong B. Ngoài ra, bài báo còn đưa thêm một số ví dụ để chứng tỏ có một số khác biệt giữa sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán so với đa thức trên các trường. | Khoa hoïc - Coâng ngheä VEÀ SÖÏ TOÀN TAÏI NGHIEÄM CUÛA ÑA THÖÙC TREÂN VAØNH GIAO HOAÙN Nguyễn Tiến Mạnh Trường Đại học Hùng Vương Tóm tắt Cho f x là một đa thức trên vành giao hoán Bài báo này nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của f x khi xem xét nó trên các vành mở rộng của A. Trong trường hợp hệ tử cao nhất của f x là 1 chúng tôi đã xây dựng được một vành B A sao cho f x có nghiệm trong B. Ngoài ra bài báo còn đưa thêm một số ví dụ để chúng tỏ có một số khác biệt giữa sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán so với đa thức trên các trường. 1. Mở đầu Các vấn đề liên quan đến nghiệm của một đa thức hay một phương trình đại số trên một trường thường thu hút nhiều sự quan tâm đối với cả hai lĩnh vực đại số cổ điển và đại số hiện đại. Do tính chất không có ước của không mỗi đa thức khác 0 trên một trường hay trên một miền nguyên đều có số nghiệm tính cả số bội không vượt quá bậc. Bên cạnh đó lí thuyết mở rộng trường đã chứng tỏ mọi đa thức bậc dương trên một trường đều có đầy đủ các nghiệm trong một trường mở rộng nào đó 2 . Hơn nữa công thức Viéte cho ta mối liên hệ giữa các biểu thức đối xứng của các nghiệm với các hệ tử. Vượt lên trên tất cả nhà toán học vĩ đại E. Galois 1811-1832 đưa ra điều kiện cần và đủ để một phương trình đại số tổng quát bậc n giải được bằng căn thức kèm với nó là một lí thuyết nổi tiếng Lí thuyết Galois 3 . Khi xem xét đa thức trên một vành là đối tượng rộng hơn thì nhìn chung nhiều kết quả đã biết về nghiệm của đa thức trên các trường không còn đúng nữa. Vậy các kết quả đó thay đổi như thế nào Trong bài viết nhỏ này chúng tôi muốn đề cập đến một vài sự thay đổi đối với vấn đề tồn tại nghiệm của một đa thức trên vành giao hoán. 2. Nội dung . Trường đóng đại số Như chúng ta đã biết mỗi đa thức f x có bậc dương trên một trường có thể không có nghiệm trong . Tuy nhiên luôn tồn tại một trường mở rộng sao cho f x có nghiệm trong 2 . Do số nghiệm của f x không vượt quá degf x nên sau một số bước mở rộng ta sẽ được một trường chứa đầy đủ
