"Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An (Đề chính thức)" phục vụ cho các bạn học sinh trong quá trình luyện thi học sinh giỏi lớp 12. Mời các em cùng tham khảo! | SỞ GD amp ĐT NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 Môn thi TOÁN BẢNG A Đề chính thức Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1 a Giải phương trình 3 3 x x log 2 x 2 4 2 2 b Chứng minh phương trình x5 4x2 4x 1 có đúng một nghiệm và nghiệm đó nhận giá trị dương. Bài 2 a Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 5 x 2 b Cho các số thực x y thỏa mãn 0 SỞ GD amp ĐT NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 Năm học 2006 2007 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn TOÁN Bảng A BÀI NỘI DUNG ĐIỂM Bài 1 a. 2 5đ TXĐ D 0 . Đặt x t 0 5 5đ 3 3 t2 t 4 PT trở thành log2 t 2 2 0 1 2 3 3 t2 t 4 Xét f t log2 t 2 2 với t 0 2 3 1 t2 t 2t 1 2 2 Có f t 3 t .ln 2 2 1 Ta có f t gt 0 t 0 f 0 2 1 pt 1 có một nghiệm duy nhất t . 2 1 Vậy pt đã cho có một nghiệm x 4 b. 3đ Ta có pt x5 2x 1 2 Nếu x là nghiệm thì x5 0 x5 2x 1 2 1 x 1 Với x 1 xét f x x5 4x2 4x 1 Ta có f x 5x4 8x 4 f quot x 20x3 8 gt 0 với x 1 f x đồng biến trên 1 mà f 1 7 Limf x x x0 1 để f x0 0 Ta có bảng biến thiên x 1 x0 f x 0 8 f x f x0 Dựa vào bảng biến thiên suy ra pt f x 0 có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó có giá trị dương đpcm. Bài 2 a. 3đ TXĐ D 5 5 6 điểm x2 3 5 x 2 2x 2 5 Ta có f x 3 5 x 2 5 x2 5 x2 f x 0 3 5 x 2 2x 2 5 0 x 5 5 5 x2 x 2 x 4 2 2 x 2 4x 4 11x 2 20 0 Có f 2 8 f 2 8 f 5 3 5 f 5 3 5 Max f x 8 khi x 2 Min f x 8 khi x 2 b. 3đ Do 0 0 x 3 6x y 3 6y Bất đẳng thức sinx siny t 3 6t Xét f t với t 0 sint Có f t 3t 2 6 sint t 3 6t cost sin2 t Xét g t 3t2 6 sint t3 6t cost với t 0 Có g t t3sint gt 0 t 0 g t đồng biến trên 0 g t gt g 0 0 f t gt 0 với t 0 f t đồng biến trên 0 mà x y f x f y suy ra đpcm. Bài 3 Trường hợp 1 Với x 0 thì hệ có nghiệm x y z 0. 3 điểm Trường hợp 2 Với x 0 để hệ có nghiệm thì x gt 0 y gt 0 z gt 0 Giả sử x y z là nghiệm của hệ có 2x2 y 1 x2 2xy x y 3y3 z y4 y2 1 y z vì y4 y2 1 3y2 4z4 x z6 z4 z2 1 z x vì z6 z4 z2 1 4z3
