Dựa vào biểu diễn dương của đa thức (đa thức hệ số thực) không âm trên các dải trong ℝ2 có dạng | TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 14 2017 1 BIỂU DIỄN DƯƠNG CỦA MA TRẬN ĐA THỨC KHÔNG ÂM TRÊN CÁC DẢI TRONG ℝ CÓ DẠNG ℝ VỚI ℝ LÀ TẬP COMPACT Vũ Thị Thơm Hoàng Thị Thoa Tóm tắt Dựa vào biểu diễn dương của đa thức đa thức hệ số thực không âm trên các dải trong 2 ℝ có dạng ℝ trong đó ℝ là tập compact trong tài liệu 1 chúng tôi trình bày và chứng minh biểu diễn dương cho ma trận đa thức đa thức hệ số ma trận không âm trên ℝ. Cụ thể chúng tôi trình bày cho ma trận đa thức đường chéo và sau đó là ma trận đa thức đối xứng. Từ khóa biểu diễn dương ma trận đa thức không âm 1. Giới thiệu Lớp các đa thức không âm trên toàn không gian đã được nghiên cứu rất lâu và cho nhiều kết quả quan trọng tiêu biểu là bài toán thứ 17 của Hilbert về biểu diễn của các đa thức không âm trên ℝ . Tuy nhiên lớp các đa thức không âm trên các miền con nói chung và lớp các đa thức không âm trên các dải trong ℝ nói riêng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết. Do vậy trong những năm gần đây các vấn đề về biểu diễn của đa thức không âm trên các miền con đang được các nhà khoa học nghiên cứu mở rộng về mặt toán học cũng như ứng dụng của chúng trong kĩ thuật công nghệ. Đặc biệt là biểu diễn của ma trận đa thức không âm trên các dải trong ℝ là vấn đề còn khá mới và hấp dẫn. Trong bài báo này chúng tôi phát biểu và chứng minh biểu diễn dương cho ma trận đa thức không âm trên dải ℝ trong đó ℝ là tập compact. Điều đó được trình bày cụ thể trong Mệnh đề 3 và Định lý 4 đây là hai kết quả mới của bài báo cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho biểu diễn dương của ma trận đa thức. Các biểu diễn dương của đa thức không âm cũng như biểu diễn dương của ma trận đa thức không âm sẽ có ích trong việc giải bài toán thiết kế lọc và xác định hàm Lyapunov cho một hệ phương trình vi phân. 2. Một số khái niệm cơ bản Trong bài báo chúng tôi kí hiệu ℝ ℝ 1 và vành đa thức hệ số thực biến và ℝ 2 là tổng các bình phương trong ℝ . Cho một tập hữu hạn 0 2 ℝ kí hiệu ℝ 0 0 là tập nửa đại số đóng cơ bản sinh bởi và là tiền thứ tự trong ℝ sinh .
